Có bao nhiêu số phức \(z\) đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 2\) và \({\left( {z -

Câu hỏi số 556590:

Thông hiểu

Có bao nhiêu số phức \(z\) đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 2\) và \({\left( {z - 2} \right)^4}\) là số thực?

A. \(4\)

B. \(5\)

C. \(6\)

D. \(7\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556590

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,b \in {\bf{R}}} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {z + i} \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 4\,\,\,\left( 1 \right)\)

\({\left( {z - 2} \right)^4} = {\left[ {\left( {a - 2} \right) + bi} \right]^4} = {\left( {a - 2} \right)^4} + 4{\left( {a - 2} \right)^3}.\left( {bi} \right) + 6{\left( {a - 2} \right)^2}.{\left( {bi} \right)^2} + 4\left( {a - 2} \right).{\left( {bi} \right)^3} + {\left( {bi} \right)^4}\)

\( = \left[ {{{\left( {a - 2} \right)}^4} - 6{{\left( {a - 2} \right)}^2}.{b^2} + {b^4}} \right] + \left[ {4{{\left( {a - 2} \right)}^3}.b - 4\left( {a - 2} \right){b^3}} \right]i\)

\({\left( {z - 2} \right)^4}\) là số thực \( \Rightarrow 4{\left( {a - 2} \right)^3}b - 4\left( {a - 2} \right){b^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)b.\left[ {{{\left( {a - 2} \right)}^2} - {b^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b = 0\\a - 2 - b = 0\\a - 2 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\\b = a - 2\\b = 2 - a\end{array} \right.\)

+ TH1: \(a = 2\) thay vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {b + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow b = - 1\)

\( \Rightarrow \) Có 1 số phức \(z\) thỏa mãn

+ TH2: \(b = 0\) thay vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow {a^2} + 1 = 4 \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \) Có 2 số phức \(z\) thỏa mãn

+ TH3: \(b = a - 2\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\({a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\\a = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Có 2 số phức \(z\) thỏa mãn

+ TH4: \(b = 2 - a\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\({a^2} + {\left( {3 - a} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a + 5 = 0 \Rightarrow \) vô nghiệm

\( \Rightarrow \) không có số phức \(z\) thỏa mãn

Vậy có 5 số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.