Cho \({z_1};{z_2}\) là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}^2}} \in

Câu hỏi số 556591:

Thông hiểu

Cho \({z_1};{z_2}\) là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}^2}} \in {\bf{R}}\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 3 \). Tính \(\left| {{z_1}} \right|\)?

A. \(2\)

B. \(\sqrt 5 \)

C. \(3\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556591

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \({z_1} = a + bi\,\,\,\left( {a,b \in {\bf{R}}} \right)\) \( \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {2bi} \right| = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {2b} \right| = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left| b \right| = \sqrt 3 \) \(\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow {z_2} \ne 0 \Rightarrow {z_1} \ne 0\)

Để \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}^2}}\) là số thực \( \Leftrightarrow \dfrac{{{z_2}^2}}{{{z_1}}}\) là số thực

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a - bi} \right)}^2}}}{{a + bi}} = \dfrac{{\left[ {\left( {{a^2} - {b^2}} \right) - 2abi} \right]}}{{a + bi}} = \dfrac{{\left[ {\left( {{a^2} - {b^2}} \right) - 2abi} \right]\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

\( = \dfrac{{\left[ {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)a + 2a{b^2}} \right]}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{\left[ { - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)b - 2{a^2}b} \right]}}{{{a^2} + {b^2}}}i\) là số thực

\( \Rightarrow \left( {{a^2} - {b^2}} \right)b + 2{a^2}b = 0 \Leftrightarrow b\left( {3{a^2} - {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\{b^2} = 3{a^2}\end{array} \right.\)

+ TH1: \(b = 0\) \( \Rightarrow \) Không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow \) loại

+ TH2: \({b^2} = 3{a^2}\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow {b^2} = 3 \Rightarrow b = \pm \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{{b^2}}}{3} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {1 + 3} = 2\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.