Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(z\) không phải là số thực và \(w = \dfrac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số

Câu hỏi số 556597:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(z\) không phải là số thực và \(w = \dfrac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z + 1 - i} \right|\) là?

A. \(3\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(4\sqrt 2 \)

D. \(5\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556597

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(2 + {z^2} \ne 0 \Leftrightarrow z \ne \pm \sqrt 2 i\)

Do \(z\) không phải là số thực \( \Rightarrow z \ne 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{w} = \dfrac{{2 + {z^2}}}{z}\) cũng là số thực

Đặt \(z = x + yi\,\,\,\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{2 + {z^2}}}{z} = \dfrac{2}{z} + z = \dfrac{2}{{x + yi}} + \left( {x + yi} \right) = \dfrac{{2\left( {x - yi} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}} + \left( {x + yi} \right)\) \( = \left[ {\dfrac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}} + x} \right] + \left( {\dfrac{{ - 2y}}{{{x^2} + {y^2}}} + y} \right)i\) là số thực

\( \Leftrightarrow - \dfrac{{2y}}{{{x^2} + {y^2}}} + y = 0 \Leftrightarrow y\left( {1 - \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) = 0\)

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn cho \(z\)

\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}t\^a m\,\,O\left( {0;0} \right)\\R = \sqrt 2 \end{array} \right.\) trừ đi các điểm\(\left( {0; \pm \sqrt 2 } \right)\) và\(\left( { \pm \sqrt 2 ;0} \right)\)

* \(P = \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - \left( { - 1 + i} \right)} \right| = MA\) với\(A\left( { - 1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tìm \(MA\) max

Ta có: \(OA = \sqrt 2 = R \Rightarrow A \in \left( C \right)\)

\( \Rightarrow M{A_{\max }} = 2R = 2\sqrt 2 \) khi \(O\) là trung điểm của \(MA\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.