Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2f\left( {2 - x}

Câu hỏi số 557490:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 6x + 4\). Tích phân \(\int\limits_{ - 1}^3 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{{58}}{3}\)

B. \(\dfrac{{149}}{3}\)

C. \(\dfrac{{167}}{3}\)

D. \(\dfrac{{176}}{9}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:557490

Phương pháp giải

- Sử dụng tích phân từng phần.

- Thay x = 3, x = -1 vào \(f\left( x \right) + 2f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 6x + 4\), lập hệ phương trình tìm f(3), f(-1).

- Lấy tích phân từ -1 đến 3 hai vế phương trình \(f\left( x \right) + 2f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 6x + 4\).

- Sử dụng phương pháp đổi biến số tính \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( {2 - x} \right)dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_{ - 1}^3 {xf'\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^3 {xd\left[ {f\left( x \right)} \right]} \\ = \left. {xf\left( x \right)} \right|_{ - 1}^3 - \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} \\ = 3f\left( 3 \right) + f\left( { - 1} \right) - \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Theo bài ra ta có \(f\left( x \right) + 2f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 6x + 4\).

Thay x = 3 thì \(f\left( 3 \right) + 2f\left( { - 1} \right) = - 5\).

Thay x = -1 thì \(f\left( { - 1} \right) + 2f\left( 3 \right) = 11\).

\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = 9,\,\,f\left( { - 1} \right) = - 7\).

\( \Rightarrow \,\int\limits_{ - 1}^3 {xf'\left( x \right)dx} = 20 - \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} \).

Lấy tích phân từ -1 đến 3 hai vế phương trình \(f\left( x \right) + 2f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 6x + 4\) ta được

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} - 6x + 4} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( {2 - x} \right)d\left( {2 - x} \right)} = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_3^{ - 1} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_{ - 1}^3 {xf'\left( x \right)dx} = 20 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{{58}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.