a) Chứng minh đa thức: \({x^{2021}} + {x^{2020}} + ... + x + 1\) chia hết cho đa thức \({x^{201}} + {x^{200}}

Câu hỏi số 559931:

Thông hiểu

a) Chứng minh đa thức: \({x^{2021}} + {x^{2020}} + ... + x + 1\) chia hết cho đa thức \({x^{201}} + {x^{200}} + ... + x + 1\).

b) Chứng minh đa thức: \(A = {x^{9999}} + {x^{8888}} + ...{x^{1111}} + 1\) chia hết cho đa thức \(B = {x^9} + {x^8} + ... + x + 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559931

Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là số đa thức chia:

\(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right)\). Nếu \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

+ Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức đều chia hết cho đa thức chia:

\(f\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right) + C\left( x \right)\). Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\\B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\\C\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\end{array} \right.\) thì \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \({x^{2021}} + {x^{2020}} + ... + x + 1\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{x^{2021}} + {x^{2000}} + ... + {x^{1820}}} \right) + \left( {{x^{1819}} + {x^{1818}} + ... + {x^{1683}}} \right) + ... + {x^{201}} + ... + x + 1\\ = {x^{1820}}\left( {{x^{201}} + {x^{200}} + ... + x + 1} \right) + {x^{1638}}\left( {{x^{201}} + {x^{200}} + ... + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{201}} + ... + x + 1} \right)\\ = \left( {{x^{201}} + {x^{200}} + ... + x + 1} \right)\left( {{x^{1820}} + {x^{1638}} + {x^{1456}} + ... + {x^{202}} + 1} \right)\end{array}\)

Ta có:

\({x^{2021}} + {x^{2020}} + ... + x + 1 = \left( {{x^{201}} + {x^{200}} + ... + x + 1} \right)\left( {{x^{1820}} + {x^{1638}} + {x^{1456}} + ... + {x^{202}} + 1} \right) \vdots \left( {{x^{201}} + {x^{200}} + ... + x + 1} \right)\) (đpcm)

b) Ta có: \(A = {x^{9999}} - {x^9} + {x^{8888}} - {x^8} + ... + {x^{1111}} - x + \left( {{x^9} + {x^8} + ... + x + 1} \right)\)

Xét

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{x^{9999}} - {x^9}\\ = {x^9}\left( {{x^{9990}} - 1} \right)\\ = {x^9}\left[ {{{\left( {{x^{10}}} \right)}^{999}} - 1} \right]\\ = {x^9}\left( {{x^{10}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^{10}}} \right)}^{998}} + {{\left( {{x^{10}}} \right)}^{997}} + ... + x + 1} \right]\end{array}\)

Mà \({x^{10}} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^9} + {x^8} + ... + x + 1} \right) \vdots \left( {{x^9} + {x^8} + ... + x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{x^{10}} - 1} \right) \vdots \left( {{x^9} + {x^8} + ... + x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{x^{9999}} - {x^9}} \right) = {x^9}\left( {{x^{10}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^{10}}} \right)}^{998}} + {{\left( {{x^{10}}} \right)}^{997}} + ... + x + 1} \right] \vdots \left( {{x^9} + {x^8} + ... + x + 1} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left( {{x^{8888}} - {x^8}} \right);\left( {{x^{7777}} - {x^7}} \right);...;\left( {{x^{1111}} - x} \right)\) chia hết cho \(\left( {{x^9} + {x^8} + ... + x + 1} \right)\)

Vậy \(A \vdots B\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link