Tìm số dư trong phép tính sau:a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x +

Câu hỏi số 559932:

Thông hiểu

Tìm số dư trong phép tính sau:

a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right) + 1999\) chia cho \({x^2} + 8x + 12\)

b) \({x^{17}} + x\) chia cho \({x^2} + 1\)

c) \({x^{27}} + {x^9} + {x^3} + x\) chia cho \({x^2} - 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559932

Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là số đa thức chia:

\(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right)\). Nếu \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

+\(f\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right) + C\left( x \right) + ... + M\left( x \right) + R\left( x \right)\).

Trong đó \(A\left( x \right) \vdots g\left( x \right);B\left( x \right) \vdots g\left( x \right);C\left( x \right) \vdots g\left( x \right);...;M\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) và \(R\left( x \right)\) có bậc nhỏ hơn \(g\left( x \right)\) thì \(R\left( x \right)\) là dư của phép chia.

+ Xét giá trị riêng: Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư là \(ax + b\)

\( \Rightarrow \) Đa thức bị chia là: \(f\left( x \right) = g\left( x \right).Q\left( x \right) + ax + b\)

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)\\ = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\\ = \left( {{x^2} + 8x + 7} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + 8x + 7\), ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right) + 1999\\ = t\left( {t + 8} \right) + 1999\\ = \left( {{t^2} + 8t + 15} \right) + 1984 = \left( {{t^2} + 3t + 5t + 15} \right) + 1984\\ = \left( {t + 3} \right)\left( {t + 5} \right) + 1984\\ = \left( {{x^2} + 8x + 7 + 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 7 + 5} \right) + 1984\\ = \left( {{x^2} + 8x + 10} \right)\left( {{x^2} + 8x + 12} \right) + 1984\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} + 8x + 10} \right) \vdots \left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\\\left( {{x^2} + 8x + 12} \right) \vdots \left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Dư của phép chia \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right) + 1999\) cho \({x^2} + 8x + 12\) là \(1984\)

b) \(f\left( x \right) = {x^{17}} + x = {x^{17}} - x + 2x = x\left( {{x^{16}} - 1} \right) + 2x\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{x^{16}} - 1\\ = {\left( {{x^4}} \right)^4} - 1\\ = \left( {{x^4} - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^3} + {{\left( {{x^4}} \right)}^2} + {x^4} + 1} \right]\\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^{12}} + {x^8} + {x^4} + 1} \right)\end{array}\)

Vì \(x\left( {{x^{16}} - 1} \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^{12}} + {x^8} + {x^4} + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow x\left( {{x^{16}} - 1} \right) \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Dư trong phép chia \({x^{17}} + x\) cho \({x^2} + 1\) là \(2x\)

c) Gọi thương của phép chia \({x^5} + {x^4} + {x^3} + x\) cho \({x^2} - 4\) là \(Q\left( x \right)\)

Gọi dư của phép chia trên là \(ax + b\)

\( \Rightarrow {x^5} + {x^4} + {x^3} + x = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).Q\left( x \right) + ax + b\left( 1 \right)\)

Vì (1) đúng với mọi x nên:

+ Với \(x = 1\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 58 = 2a + b\left( 2 \right)\)

+ Với \(x = - 1\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 26 = - 2a + b\left( 3 \right)\)

Giải (2) và (3) ta được: \(a = 21;b = 16\)

\( \Rightarrow \) Dư của phép chia \({x^5} + {x^4} + {x^3} + x\) cho \({x^2} - 4\) là \(21x + 16\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link