Tìm dư trong phép chia đa thức: \(f\left( x \right) = {x^{1994}} + {x^{1993}} + 1\) cho a) \(x - 1\)b) \({x^2} -

Câu hỏi số 559933:

Vận dụng

Tìm dư trong phép chia đa thức: \(f\left( x \right) = {x^{1994}} + {x^{1993}} + 1\) cho

a) \(x - 1\)

b) \({x^2} - 1\)

c) \({x^2} + x + 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559933

Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là số đa thức chia:

\(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right)\). Nếu \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

+\(f\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right) + C\left( x \right) + ... + M\left( x \right) + R\left( x \right)\).

Trong đó \(A\left( x \right) \vdots g\left( x \right);B\left( x \right) \vdots g\left( x \right);C\left( x \right) \vdots g\left( x \right);...;M\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) và \(R\left( x \right)\) có bậc nhỏ hơn \(g\left( x \right)\) thì \(R\left( x \right)\) là dư của phép chia.

+ Xét giá trị riêng: Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư là \(ax + b\)

\( \Rightarrow \) Đa thức bị chia là: \(f\left( x \right) = g\left( x \right).Q\left( x \right) + ax + b\)

+ Định lý Bezout: Số dư trong phép chia đa thức \(f\left( x \right)\) cho nhị thức \(\left( {x - a} \right)\) bằng giá trị của \(f\left( x \right)\) tại \(x = a\), tức là \(f\left( a \right)\)

Giải chi tiết

a) Gọi \(r\) là số dư của phép chia \(f\left( x \right) = {x^{1994}} + {x^{1993}} + 1\) cho \(x - 1\)

Theo định lý Bezout, ta có: \(r = f\left( 1 \right) = {1^{1994}} + {1^{1993}} + 1 = 3\)

Vậy dư trong phép chia đa thức \({x^{1994}} + {x^{1993}} + 1\) cho \(x - 1\) là \(3\)

b) Gọi thương của phép chia là \(Q\left( x \right)\) và dư là \(ax + b\)

\( \Rightarrow {x^{1994}} + {x^{1993}} + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).Q\left( x \right) + ax + b\left( * \right)\)

Vì \(\left( * \right)\) luôn đúng với mọi \(x\) nên

+ Với \(x = 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 3 = a + b\left( {**} \right)\)

+ Với \(x = - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 1 = b - a\left( {***} \right)\)

Giải \((**)\) và \(\left( {***} \right)\) ta được \(a = 1;b = 2\)

Vậy dư trong phép chia \({x^{1994}} + {x^{1993}} + 1\) cho \({x^2} - 1\) là \(x + 2\)

c) Ta có:

+ \(f\left( x \right) = {x^{1994}} + {x^{1993}} + 1\)

\(\begin{array}{l} = {x^{1994}} - {x^2} + {x^{1993}} - x + {x^2} + x + 1\\ = {x^2}\left( {{x^{1992}} - 1} \right) + x\left( {{x^{1992}} - 1} \right) + {x^2} + x + 1\\ = \left( {{x^{1992}} - 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right) + {x^2} + x + 1\end{array}\)

+ \({x^{1992}} - 1 = {\left( {{x^3}} \right)^{664}} - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x^{1992}} - 1} \right) \vdots \left( {{x^3} - 1} \right)\\ \Rightarrow \left( {{x^{1992}} - 1} \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x^{1992}} - 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\end{array}\)

Vậy số dư trong phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) là \(0\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link