Tìm các số tự nhiên \(n\) sao cho: \({x^{2n}} + {x^n} + 1 \vdots {x^2} + x + 1\).

Câu hỏi số 559940:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559940

Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là số đa thức chia:

\(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right)\). Nếu \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

+ Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức đều chia hết cho đa thức chia:

\(f\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right) + C\left( x \right)\). Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\\B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\\C\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\end{array} \right.\) thì \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Đặt \({f_n}\left( x \right) = {x^{2n}} + {x^n} + 1\).

Vì \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + n} \right)\) nên nếu \({f_n}\left( x \right) \vdots {x^3} - 1\) thì \({f_n}\left( x \right) \vdots {x^2} + x + 1\)

Khi chia cho \(3\) ta có thể có các số dư sau: \(0;1;2\). Như vậy số tự nhiên \(n\) cần tìm có dạng là: \(n = 3k\) hoặc \(n = 3k + 1\) hoặc \(n = 3k + 2\).

+ Nếu \(n = 3k\) thì \({f_n}\left( x \right) = {x^{6kn}} + {x^{6kn}} + 1 = \left( {{x^{6kn}} - 1} \right) + \left( {{x^{3kn}} - 1} \right) + 3\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^{6k}} - 1 = {\left( {{x^3}} \right)^{2kn}} - 1 \vdots {x^3} - 1\\{x^{3k}} - 1 = {\left( {{x^3}} \right)^k} - 1 \vdots {x^3} - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {f_n}\left( x \right)\) chia cho \({x^2} + x + 1\) dư \(3\) khi \(n = 3k\)

+ Nếu \(n = 3k + 1\) thì

\({f_n}\left( x \right) = {x^{6k + 2}} + {x^{3k + 1}} + 1 = {x^{6k + 2}} - {x^2} + {x^{3k + 1}} - x + {x^2} + x + 1 = {x^2}\left( {{x^{6k}} - 1} \right) + x\left( {{x^{3k}} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

Chứng minh tương tự khi \(n = 3k\) ta chứng minh được với \(n = 3k + 1\) thì phép chia \({f_n}\left( x \right)\) cho \({x^2} + x + 1\) có dư là \(0\) \( \Leftrightarrow {f_n}\left( x \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

+ Nếu \(n = 3k + 2\) thì \({f_n}\left( x \right) = {x^{6k + 4}} + {x^{3k + 2}} + 1\)

\(\begin{array}{l} = {x^{6k + 4}} - {x^4} + {x^{3k + 2}} - {x^2} + {x^4} + {x^2} - 1\\ = {x^4}\left( {{x^{6k}} - 1} \right) + {x^2}\left( {{x^{3k}} - 1} \right) + {x^4} + 2{x^2} + 1 - {x^2}\\ = {x^4}\left( {{x^{6k}} - 1} \right) + {x^2}\left( {{x^{3k}} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự khi \(n = 3k\) ta chứng minh được với \(n = 3k + 2\) thì phép chia \({f_n}\left( x \right)\) cho \({x^2} + x + 1\) có dư là \(0\) \( \Leftrightarrow {f_n}\left( x \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

Vậy tập các số cần tìm là: \(S = \left\{ {n \in \mathbb{N}|{f_n}\left( x \right) = {x^{2n}} + {x^n} + 1 \vdots {x^2} + x + 1\;;\;n\not{ \vdots }3} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link