Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn\(2{\log _3}\left( {x + y + 1}

Câu hỏi số 560002:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn

\(2{\log _3}\left( {x + y + 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 2{y^2} + 1} \right)\)?

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560002

Phương pháp giải

Đặt \(X = x + 1\). Khi đó \(2{\log _3}\left( {X + y} \right) = {\log _2}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right)\)\({\kern 1pt} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {X + y} \right) = {\log _4}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right)\).

Đặt \({\log _3}\left( {X + y} \right) = {\log _4}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}X + y = {3^t}\\{X^2} + 2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwars tìm được khoảng giá trị của \(t\). Từ đó kết hợp với \(X\) nguyên ta tìm được \(X\).

Suy ra số giá trị của \(x\).

Giải chi tiết

Đặt \({\log _3}\left( {X + y} \right) = {\log _4}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}X + y = {3^t}\\{X^2} + 2{y^2} = {4^t}\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars ta có: \({\left( {X + y} \right)^2} = {\left( {1.X + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.y\sqrt 2 } \right)^2} \le \left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right)\).

\( \Rightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} \le \dfrac{3}{2}{.4^t} \Rightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{2}{3} \Rightarrow t \le \dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}0 < X + y \le \sqrt 3 \\0 < {X^2} + 2{y^2} \le 2\end{array} \right.\)

Ta có: \({X^2} + 2{y^2} \le 2 \Rightarrow {X^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le X < 2 \Rightarrow X \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\) do \(X \in {\bf{Z}}\).

+ Với \(X = 0\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = {3^t}\\2{y^2} = {4^t}\end{array} \right. \Rightarrow {2.9^t} = {4^t} \Leftrightarrow t = {\log _{\dfrac{4}{9}}}2 \Rightarrow y = {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}2}}\)

+ Với \(X = 1\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = {3^t} - 1\\2{y^2} = {4^t} - 1\end{array} \right. \Rightarrow 2.{\left( {{3^t} - 1} \right)^2} = {4^t} - 1\,\,\left( * \right)\)

Ta thấy \(t = 0\) là nghiệm của (*). Do đó phương trình đã cho có nghiệm \(y = 0\).

+ Với \(X = - 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y = {3^t} + 1\\2{y^2} = {4^t} - 1\end{array} \right.\)

Vì \(y = {3^t} + 1 \Rightarrow y > 1\) (*)

Ta có: \({x^2} + 2{y^2} \le 2 \Rightarrow 0 \le 2{y^2} \le 2 \Rightarrow - 1 \le y \le 1\) (mâu thuẫn với (*))

Do vậy \(X = - 1\) không thỏa mãn.

Vậy \(X \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(x \in \left\{ { - 1;0} \right\}\) thì tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.