Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) là tam giác đều,
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm \(\Delta ABC\). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình thoi, G là trọng tâm tam giác ABC.
- Xác định góc giữa \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
- Ta có \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)\).
- Tính khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Từ đó suy ra khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình thoi.
Khi đó \(SG \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,GD} \right) = \angle SDG = {30^0}\).
Tam giác \(ABC\) đều nên \(BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Do đó \(BD = a\sqrt 3 \).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(DG = \dfrac{2}{3}DB = \dfrac{2}{3}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(SDG\) vuông tại \(G\) và có \(\angle SDG = {30^0}\) nên \(SG = DG\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\).
Kẻ \(GF \bot DC\,\,\left( {F \in DC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot DC\\GF \bot DC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SGF} \right) \bot DC \Rightarrow \left( {SGF} \right) \bot \left( {SDC} \right)\)
Kẻ \(GH \bot SF\,\,\left( {H \in SF} \right)\) \( \Rightarrow GH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = GH\).
Ta có: \({S_{\Delta GDC}} = \dfrac{1}{2}CO.DG = \dfrac{1}{2}GF.DC\) \( \Rightarrow GF = \dfrac{{CO.DG}}{{DC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Trong tam giác vuông \(SGF\) ta có: \(GH = \dfrac{{SG.GF}}{{\sqrt {S{G^2} + G{F^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {\dfrac{{4{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\).
Mặt khác \(\dfrac{{BD}}{{GD}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Do đó: \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}GH = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{{21}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
