Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) là tam giác đều,

Câu hỏi số 560160:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm \(\Delta ABC\). Góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

A. \(\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{3}\).

B. \(a\sqrt 3 \).

C. \(a\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560160

Phương pháp giải

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình thoi, G là trọng tâm tam giác ABC.

- Xác định góc giữa \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

- Ta có \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Tính khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Từ đó suy ra khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( {ABCD} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình thoi.

Khi đó \(SG \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,GD} \right) = \angle SDG = {30^0}\).

Tam giác \(ABC\) đều nên \(BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Do đó \(BD = a\sqrt 3 \).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(DG = \dfrac{2}{3}DB = \dfrac{2}{3}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(SDG\) vuông tại \(G\) và có \(\angle SDG = {30^0}\) nên \(SG = DG\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Kẻ \(GF \bot DC\,\,\left( {F \in DC} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot DC\\GF \bot DC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SGF} \right) \bot DC \Rightarrow \left( {SGF} \right) \bot \left( {SDC} \right)\)

Kẻ \(GH \bot SF\,\,\left( {H \in SF} \right)\) \( \Rightarrow GH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = GH\).

Ta có: \({S_{\Delta GDC}} = \dfrac{1}{2}CO.DG = \dfrac{1}{2}GF.DC\) \( \Rightarrow GF = \dfrac{{CO.DG}}{{DC}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Trong tam giác vuông \(SGF\) ta có: \(GH = \dfrac{{SG.GF}}{{\sqrt {S{G^2} + G{F^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {\dfrac{{4{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\).

Mặt khác \(\dfrac{{BD}}{{GD}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Do đó: \(d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}GH = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{{21}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.