Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(A'A = 2a,\,\,BC = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của

Câu hỏi số 560166:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(A'A = 2a,\,\,BC = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'B\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(M.A'B'C'\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{6}\).

C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{8}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {13} a}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560166

Phương pháp giải

- Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm của tam giác đều \(ABC,\,\,A'B'C'\).

- Gọi \(N\) là trung điểm \(B'M\), \(E\) là trung điểm của \(A'C'\), qua \(N\) kẻ \(NI//B'E\). Chứng minh \(IA' = IB' = IC' = IM\).

- Dùng định lý Pitago tính bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết

Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm của tam giác đều \(ABC,\,\,A'B'C'\).

Gọi \(N\) là trung điểm \(B'M\), \(E\) là trung điểm của \(A'C'\).

Qua \(N\) kẻ \(NI//B'E\,\,\left( {I \in O'O} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'E \bot BB'\\NI//B'E\end{array} \right. \Rightarrow NI \bot BB' \Rightarrow IM = IB'\).

Lại có \(I \in O'O\) nên \(IA' = IB' = IC'\).

Do đó ta có \(IA' = IB' = IC' = IM\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(MA'B'C'\), bán kính \(R = IB'\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NI//B'O'\\B'N//O'I\end{array} \right.\) nên \(O'B'NI\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow O'I = B'N = \dfrac{1}{2}B'M = \dfrac{1}{4}BB' = \dfrac{a}{2}\).

Tam giác \(A'B'C'\) đều nên \(B'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \dfrac{2}{3}B'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(IB'O'\) vuông nên \(IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'{{O'}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.