Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right),\,\,B\left( {5;3;1} \right),\,\,N\left( {4;1;2}

Câu hỏi số 560167:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right),\,\,B\left( {5;3;1} \right),\,\,N\left( {4;1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,y + z = 27\). Biết rằng tồn tại điểm \(B\) trên tia \(AM\), điểm \(C\) trên \(\left( P \right)\) và điểm \(D\) trên tia \(AN\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thoi. Tọa độ điểm \(C\) là

A. \(\left( {21;21;6} \right)\).

B. \(\left( {21;9;8} \right)\).

C. \(\left( { - 15;21;6} \right)\).

D. \(\left( { - 15;7;20} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560167

Phương pháp giải

- Viết phương trình tham số đường thẳng \(AM,\,\,AN\) từ đó suy ra tọa độ điểm \(B,\,\,D\).

- \(ABCD\) là hình thoi nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \\\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AN} = \left( {2;2;1} \right),\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {3;4;0} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(AM,\,\,AN\) lần lượt là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t + 2\\y = 4t - 1\\z = 1\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t' + 2\\y = 2t' - 1\\z = t' + 1\end{array} \right.\).

Do \(B \in AM\) nên \(B\left( {3t + 2;4t - 1;1} \right)\). Do \(D \in AN\) nên \(D\left( {2t' + 2,2t' - 1,t' + 1} \right)\).

Gọi \(C\left( {{c_1};{c_2};{c_3}} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {DC} = \left( {{c_1} - 2t' - 2,{c_2} - 2t' + 1,{c_3} - t' - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {3t;4t;0} \right)\).

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} - 2t' - 2 = 3t\\{c_2} - 2t' + 1 = 4t\\{c_3} - t' - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 3t + 2t' + 2\\{c_2} = 4t + 2t' - 1\\{c_3} = t' + 1\end{array} \right.\)

Mà \(C \in \left( P \right)\) nên \(4t + 2t' - 1 + t' + 1 = 27 \Leftrightarrow 4t + 3t' = 27\).

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {3t + 2t';4t + 2t';t'} \right),\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {2t' - 3t;2t' - 4t;t'} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {3t + 2t'} \right)\left( {2t' - 3t} \right) + \left( {4t + 2t'} \right)\left( {2t' - 4t} \right) + t{'^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4t{'^2} - 9{t^2} + 4{{t'}^2} - 16{t^2} + {{t'}^2} = 0\\ \Leftrightarrow 9t{'^2} = 25{t^2}\\ \Leftrightarrow 3t' = \pm 5t\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}4t + 3t' = 27\\3t' = 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {21;21;6} \right)\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}4t + 3t' = 27\\3t' = - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 27\\t' = 45\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11; - 19;46} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.