Phương trình \({\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _4}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong

Câu hỏi số 560753:

Vận dụng cao

Phương trình \({\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _4}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2022\pi } \right)\)?

A. \(2020\)nghiệm.

B. \(2021\)nghiệm.

C. \(1011\)nghiệm.

D. \(2022\)nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560753

Phương pháp giải

- Đặt \({\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _4}\left( {\cos x} \right) = t\).

- Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để đưa phương trình về phương trình mũ và giải theo phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\cot x > 0\\\cos x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x > 0\end{array} \right.\).

Đặt \({\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _4}\left( {\cos x} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot x = {3^t}\\\cos x = {4^t}\end{array} \right. \Rightarrow \sin x = \dfrac{{{4^t}}}{{{3^t}}} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\).

Mà \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2t}} + {4^{2t}} = 1\) (*)

Xét hàm số \(y = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2t}} + {4^{2t}}\): đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm.

Mà \({\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{ - 1}} + {4^{ - 1}} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1 \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2}\) là nghiệm duy nhất của (*).

Khi \(t = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos x = {4^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Kết hợp điều kiện \(\sin x > 0\), ta có: \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Mà \(x \in \left( {0;2022\pi } \right) \Rightarrow \)\(0 < \dfrac{\pi }{3} + k2\pi < 2022\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{{6065}}{6}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;1010} \right\}\)

=> Có 1011 giá trị nguyên k thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 1011 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.