Cho hình chop \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA = a\sqrt 7 \)và vuông góc với

Câu hỏi số 560872:

Vận dụng cao

Cho hình chop \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA = a\sqrt 7 \)và vuông góc với đáy. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(SC\)sao cho\(CM < a\). Gọi \(\left( C \right)\) là hình nón có đỉnh \(C\), các điểm \(B,M,D\) thuộc mặt xung quanh, điểm \(A\) thuộc mặt đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh của \(\left( C \right).\)

A. \(\dfrac{{16\sqrt 7 }}{{15}}\pi {a^2}.\)

B. \(\dfrac{{8\sqrt {30} }}{{15}}\pi {a^2}.\)

C. \(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{{15}}\pi {a^2}.\)

D. \(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}\pi {a^2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560872

Phương pháp giải

Lấy điểm \(E\) thuộc đoạn thẳng \(SC\)sao cho \(CE = a\)

Gọi hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) ngoại tiếp hình chóp \(C.BDE\) có đỉnh \(C\).

Chỉ ra hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) đồng dạng với hình nón \(\left( C \right)\) với tỉ số \(\dfrac{1}{2}\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi rl\).

Giải chi tiết

Lấy điểm \(E\) thuộc đoạn thẳng \(SC\)sao cho \(CE = a\).

Gọi hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) ngoại tiếp hình chóp \(C.BDE\) có đỉnh \(C\).

Gọi \(O = AC \cap BD\)

\(O \in BD\) nên thuộc mặt đáy của hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(CA = 2CO\), điểm\(A\) thuộc mặt đáy của hình nón \(\left( C \right).\left( 1 \right)\)

Hơn nữa \(CB = CD = CE = a\) suy ra \(\left( {BDE} \right)\) vuông góc với trục của hình nón \(\left( C \right)\) và thiết diện của \(\left( {BDE} \right)\) với mặt xung quanh của hình nón \(\left( C \right)\) là đường tròn, đồng thời \(\left( {BDE} \right)\) song song với mặt chứa đáy của hình nón \(\left( C \right).\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra hình nón \(\left( {{C_1}} \right)\) đồng dạng với hình nón \(\left( C \right)\) với tỉ số \(\dfrac{1}{2}\)

\(SC = 3a,\cos \angle SCB = \dfrac{1}{3},ED = EB = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{2}{3}a} ,EO = \sqrt {\dfrac{4}{3}{a^2} - \dfrac{1}{2}{a^2}} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{6}a\)

\({S_{EBD}} = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt {30} }}{6} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}{a^2}\)

\({R_{BDE}} = \dfrac{{\dfrac{{4{a^2}}}{3}.a\sqrt 2 }}{{4.\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{6}}} = \dfrac{{2\sqrt {30} }}{{15}}a.\)

Diện tích xung quanh của hình nón \(\left( C \right)\): \({S_{xq}} = \pi .\dfrac{{4a\sqrt {30} }}{{15}}.2a = \dfrac{{8\sqrt {30} }}{{15}}\pi {a^2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.