Cho dãy số \({a_1} = 14;{a_2} = 144;{a_3} = 1444;...;{a_n} = 1\underbrace {4444...4}_n\). Tìm tất cả các số

Câu hỏi số 561128:

Vận dụng cao

Cho dãy số \({a_1} = 14;{a_2} = 144;{a_3} = 1444;...;{a_n} = 1\underbrace {4444...4}_n\). Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \({a_n}\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561128

Phương pháp giải

Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là \(0;1;4;5;6;9\)

Giải chi tiết

Ta có: + \({a_1} = 14\) không phải là số chính phương.

+ \({a_2} = 144 = {12^2}\) là số chính phương

+ \({a_3} = 1444 = {38^2}\) là số chính phương

Xét \({a_n} = {k^2}\) là số chính phương \(\left( {k \in \mathbb{N}*} \right)\) và \({a_n}\) có tận cùng là \(4444\)

Ta nhận thấy là số dư của phép chia \({a_n}:16\) bằng với số dư của phép chia \(4444:16 = 277\) dư \(12\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_n} = {k^2} = 16.q + 12\left( * \right)\\ \Rightarrow k \vdots 2;k \vdots 3\\ \Rightarrow k = 2.\left( {2q + 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {k^2} = 16{q^2} + 16q + 2\) (mâu thuẫn với *)

\( \Rightarrow \) Với \(n > 4\) thì \({a_n}\) không là số chính phương.

Vậy khi \(1 < n < 4\) thì \({a_n}\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link