Cho \(n\) số tự nhiên. Chứng minh rằng:a) \({7.5^n} + {12.6^n} \vdots 19\) b) \({3^{2n + 1}} +

Câu hỏi số 562004:

Thông hiểu

Cho \(n\) số tự nhiên. Chứng minh rằng:

a) \({7.5^n} + {12.6^n} \vdots 19\)

b) \({3^{2n + 1}} + {2^{2n + 2}} \vdots 7\)

c) \({5^{2n + 1}} + {2^{n + 4}} + {2^{n + 1}} \vdots 3\)

d) \({29^{2n}} - 140n - 1 \vdots 70\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562004

Phương pháp giải

+ Khi \(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(\left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\). \(\left( {a - b} \right) \vdots m \Rightarrow \left( {a - b} \right):m\) dư \(0\);

Mà \(0:m\) dư \(0 \Rightarrow \left( {a - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;m} \right)\).

+ Tính chất cộng trừ từng vế: \(\left\{ \begin{array}{l}a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\\c \equiv d\left( {\bmod \;m} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d\left( {\bmod \;m} \right)\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \({5^{2n}} = {25^n} = {6^n}\left( {\bmod \;19} \right) \Rightarrow {7.5^{2n}} = {7.6^n}\left( {\bmod \;19} \right)\)

\( \Rightarrow {7.5^{2n}} + {12.6^n} \equiv {7.6^n} + {12.6^n} \equiv {19.6^n} \equiv 0\left( {\bmod \;19} \right)\)

Vậy \({7.5^{2n}} + {12.6^n} \vdots 19\)

b) Ta có: \({3^{2n + 1}} + {2^{n + 2}} = {\left( {{3^2}} \right)^n}.3 + {2^n}{.2^2} = {9^n}.3 + {2^n}.4 = {3.9^n} + {4.2^n}\)

Khi đó: \(9 \equiv 2\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {9^n} \equiv {2^n}\left( {\bmod \;7} \right) \Rightarrow {3.9^n} = {3.2^n}\left( {\bmod \;7} \right)\)

\( \Rightarrow {3.9^n} + {4.2^n} \equiv {3.2^n} + {4.2^n} \equiv {7.2^n} \equiv 0\left( {\bmod \;7} \right)\)

Vậy \({3^{2n + 1}} + {2^{n + 2}} \vdots 7\)

c) Ta có: \({5^{2n + 1}} + {2^{n + 4}} + {2^{n + 1}} = {25^n}.5 + {2^n}.16 + {2^n}.2 = {2.25^n} + {18.2^n}\)

Khi đó \(25 \equiv 2\left( {\bmod \;23} \right) \Rightarrow {25^n} \equiv {2^n}\left( {\bmod \;23} \right) \Rightarrow {2.25^n} \equiv {5.2^n}\left( {\bmod \;23} \right)\)

\( \Rightarrow {5.25^n} + {18.2^n} \equiv {5.2^n} + {18.2^n} \equiv {23.2^n} \equiv 0\left( {\bmod \;23} \right)\)

Vậy \({5^{2n + 1}} + {2^{n + 4}} + {2^{n + 1}} \vdots 23\)

d) Ta có: \({29^{2n}} - 140n - 1 = \left( {{{841}^n} - 1} \right) - 140n\)

+ \(841 \equiv 1\left( {\bmod \;70} \right) \Rightarrow {841^n} \equiv {1^n} \equiv 1\left( {\bmod \;70} \right) \Rightarrow {841^n} - 1 \vdots 70\)

+ \(140n \vdots 70\)

\( \Rightarrow {29^{2n}} - 140n - 1 \vdots 70\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link