Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng: R ≥

Câu hỏi số 5628:

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = a, SB = b, SC= c. Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. Chứng minh rằng: R ≥ $\frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}$

A. Tính R theo a, b , c Sao đó sử dụng bất đẳng thức Co-si

B. Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copski

C. Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng tính đúng của bất đẳng thức (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0.

D. Tính R theo a, b, c Sau đó sử dụng Co-si và Bunhia-copski

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5628

Giải chi tiết

Tính R theo a,b,c:

Cách 1:

Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do tam giác SAB vuông tại S và SC ⊥ (SAB) nên trục của tam giác SAB là đường thẳng đi qua trung điểm H của AB và song song với SC. Gọi K là trung điểm của SC. Do O thuộc mặt phẳng trung trực của SC nên OK ⊥ SC.

Ta có OHSK là hình chữ nhật nên: $SO^{2}= SH^{2}+SK^{2}$

=> $R^{2}=\frac{SA^{2}+SB^{2}}{4}+\frac{SC^{2}}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}$

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

$R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}$

Cách 2. Dựng hình hộp SAMB.CDEF. Dễ thấy hình hộp vừa dựng là hình hộp chữ nhật. Gọi O là tâm của hình hộp trên. Do O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Do đó:

$R=\frac{1}{2}SE=\frac{1}{2}\sqrt{SA^{2}+SB^{2}+SC^{2}}$ $=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}$

Cách 3: (Phương pháp vectơ)

Đặt $\vec{SA}=\vec{u}, \vec{SB}=\vec{v}, \vec{SC}=\vec{w}$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} |\vec{u}|=a, \vec{v}=b, \vec{w}=c\\ \vec{u}.\vec{v} =\vec{v}.\vec{w}=\vec{w}.\vec{u}=0 \end{matrix}\right.$

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Giả sử:

$\vec{SO}=x.\vec{u}+y.\vec{v}+z.\vec{c}$ => R² = $\overrightarrow{SO}^{2}$ = x²a²+ y²b² + z²c²(1)

Ta có: $\vec{OA}= \vec{SA}-\vec{SO}=(1-x).\vec{u}-y.\vec{v}-z\vec{w}$

=> $R^{2}=\vec{OA}^{2}=(1-x)^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}+z^{2}c^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x^{2}=(1-x)^{2}<=>x=\frac{1}{2 }$

Chứng minh tương tự ta có: y = z = $\frac{1}{2 }$ . Thay vào (1) ta có:

$R^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Vậy R= SO $=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2 }+c^{2}}}{2}$

Chứng minh : $R=\frac{a+b+c}{2\sqrt{3}}.$ Điều cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{12}$ <=>3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²

Khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức tương đương:

2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2ca ≥ 0

<=> (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0.

Bất đẳng thức (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.