Giải phương trình : = 2x2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 5644:

Giải phương trình : $\sqrt{1-x}$ = 2x² – 1 + 2x $\sqrt{1-x^{2}}$

A. x = $\sqrt{\frac{-10+2\sqrt{5}}{-16}}$

B. x = $\sqrt{\frac{-10+2\sqrt{5}}{16}}$

C. x = $\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}$

D. x = $\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5644

Giải chi tiết

Điều kiện : $\left\{\begin{matrix}1-x\geq 0\\1-x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x\leq 1\\-1\leq x\leq 1\end{matrix}\right.$ ⇔ - 1 ≤ x ≤ 1.

Đặt x = sint; t ∈ [- $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ] phương trình trở thành:

$\sqrt{1-sint}$ = 2sin²t – 1 + 2sint $\sqrt{1-sin^{2}t}$

⇔ $\sqrt{1-sint}$ = 2sin²t – 1 + 2sint.|cost| (*)

Ta có: |cost| = cost do t ∈ [ - $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ], nên:

(*)⇔ $\sqrt{1-sint}$ = 2sin²t – 1 + 2sint.cost

⇔ $\sqrt{1-sint}$ = sin2t – cos2t

⇔ $\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\1-sint=(sin2t-cos2t)^{2}=1-2sin2tcos2t=1-sin4t\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\sint=sin4t\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\\begin{bmatrix}4t=t+k2\pi\\4t=\pi -t+k2\pi \end{bmatrix}\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\\begin{bmatrix}t=\frac{k2\pi }{3}\\t=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}\end{bmatrix}\end{matrix}\right.$

Do t ∈ [ - $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ], => t = 0; t = $\frac{\pi }{5}$ ; t = - $\frac{\pi }{5}$ , ở đó t = 0 là khi k = 0 trong nhóm nghiệm (A);

Với t = $\frac{\pi }{5}$ ; t = - $\frac{\pi }{5}$ là khi k = 0; k = -1 trong nhóm nghiệm (B).

Với t = 0 =>sin2t = 0; cos2t = 1=>không thỏa mãn sin2t ≥ cos2t.

Với t = - $\frac{\pi }{5}$ =>sin( - $\frac{2\pi }{5}$ ) < 0; cos(- $\frac{2\pi }{5}$ ) > 0 =>không thỏa mãn điều kiện sin2t ≥ cos2t.

Với t = $\frac{\pi }{5}$ => sin2t ≥ cos2t ⇔ sin $\frac{2\pi }{5}$ ≥ cos $\frac{2\pi }{5}$ => đúng do $\frac{2\pi }{5}$ ∈( $\frac{\pi }{4}$ ; $\frac{\pi }{2}$ )

Vậy phương trình có nghiệm: x = sin $\frac{\pi }{5}$

Tính sin $\frac{\pi }{5}$ :

Ta có: $\frac{3\pi }{5}$ + $\frac{2\pi }{5}$ = π => sin $\frac{3\pi }{5}$ = sin $\frac{2\pi }{5}$

⇔ 3sin $\frac{\pi }{5}$ – 4 sin³ $\frac{\pi }{5}$ = 2sin $\frac{\pi }{5}$ .cos $\frac{\pi }{5}$

⇔ 3 – 4sin² $\frac{\pi }{5}$ = 2cos $\frac{\pi }{5}$ ( do sin $\frac{\pi }{5}$ ≠ 0)

⇔ 4cos² $\frac{\pi }{5}$ – 2cos $\frac{\pi }{5}$ – 1 = 0

⇔ $\begin{bmatrix}cos\frac{\pi }{5}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\\cos\frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\end{bmatrix}$

⇔ cos $\frac{\pi }{5}$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ => sin $\frac{\pi }{5}$ = $\sqrt{1-cos^{2}\frac{\pi }{5}}$ = $\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}$

Vậy x = $\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.