Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 1 = 0\) và đường thẳng

Câu hỏi số 565073:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 1 = 0\) và đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{3}\). Gọi \({d_1}^\prime \) là hình chiếu vuông góc của \({d_1}\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Đường thẳng \({d_2}\) nằm trên \(\left( P \right)\) tạo với \({d_1},\,{d_1}^\prime \) các góc bằng nhau, \({d_2}\) có véc-tơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( {a;b;c} \right)\). Giá trị biểu thức \(\dfrac{{3a - b}}{c}\) bằng.

A. \(\dfrac{{11}}{3}\).

B. \( - \dfrac{{11}}{3}\).

C. 4.

D. \( - \dfrac{{13}}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565073

Phương pháp giải

Xác định phương trình đường thẳng \({d_1}^\prime \).

Sử dụng công thức góc giữa hai vec tơ, tìm mối liên hệ giữa \(a,b,c\). Từ đó, tìm giá trị của biểu thức \(\dfrac{{3a - b}}{c}\).

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {1 + 2t;t;3t} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \(\left( P \right) \Rightarrow 1 + 2t - t + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)\).

Lấy \(B\left( {3;1;3} \right) \in {d_1}\). Gọi \(B'\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(mp\left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BB'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\).

Giả sử \(B'\left( {3 + t';1 - t';3 + t'} \right) \Rightarrow 3 + t' - 1 + t' + 3 + t' - 1 = 0 \Leftrightarrow 3t' + 4 = 0 \Leftrightarrow t' = - \dfrac{4}{3} \Rightarrow B'\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng \({d_1}^\prime \) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}^\prime } = 3\overrightarrow {AB'} = \left( {2;7;5} \right)\).

Ta có: \({d_2}\) nằm trên \(\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0 \Leftrightarrow a - b + c = 0 \Leftrightarrow b = a + c\,\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có: \({d_2}\) tạo với \({d_1},\,{d_1}^\prime \) các góc bằng nhau \( \Rightarrow \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}^\prime } } \right)} \right|\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a + b + 3c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{\left| {2a + 7b + 5c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{2^2} + {7^2} + {5^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a + b + 3c} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \dfrac{{\left| {2a + 7b + 5c} \right|}}{{\sqrt {78} }}\)\(\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \,\,\dfrac{{\left| {2a + a + c + 3c} \right|}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{\left| {2a + 7a + 7c + 5c} \right|}}{{\sqrt {39} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a + 4c} \right|}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\left| {3a + 4c} \right|}}{{\sqrt {39} }} \Leftrightarrow \left| {3a + 4c} \right| = 0 \Leftrightarrow 3a + 4c = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{{ - 4}}{3}c\).

\(b = a + c = - \dfrac{4}{3}c + c = - \dfrac{1}{3}c \Rightarrow \)\(\dfrac{{3a - b}}{c} = \dfrac{{3.\dfrac{{ - 4c}}{3} + \dfrac{{ - c}}{3}}}{c} = - \dfrac{{13}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.