Cho các số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = -

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 566:

Cho các số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{9}{\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}}$ - $\frac{16}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

A. Giá tri nhỏ nhất của P là 4

B. Giá tri nhỏ nhất của P là -4

C. Giá tri nhỏ nhất của P là 5

D. Giá tri nhỏ nhất của P là -5

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566

Giải chi tiết

Ta có 1+a²+b²+c²≥ $\frac{1}{2}$ (1+a)²+ $\frac{1}{2}$ (b+c)²≥ $\frac{1}{4}$ (1+a+b+c)²

Suy ra $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ ≤ $\frac{2}{1+a+b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi,ta có

$\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}$ ≤ $\frac{a+b}{2}$ . $\frac{a+2c+b+2c}{2}$ = $\frac{1}{4}$ (a+b)(a+b+4c)

= $\frac{1}{12}$ .3(a+b)(a+b+4c)≤ $\frac{1}{12}$ . $\frac{\left[3(a+b)+(a+b+4c)\right]^{2}}{4}$

= $\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

Suy ra $\frac{1}{\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}}$ ≥ $\frac{3}{(a+b+c)^{2}}$

Từ đó ta có P≥ $\frac{27}{(a+b+c)^{2}}$ - $\frac{32}{1+a+b+c}$

Đặt t=a+b+c. Khi đó t>0 và P≥ $\frac{27}{t^{2}}$ - $\frac{32}{t+1}$

Xét hàm f(t)= $\frac{27}{t^{2}}$ - $\frac{32}{t+1}$ trên (0;+∞)

Ta có f'(t)= $\frac{54}{t^{3}}$ + $\frac{32}{(t+1)^{2}}$ ; f'(t)=0 ⇔ (t-3)(16t²+21t+9)=0 ⇔ t=3

Do f'(1)=-460 trên (3;+∞)

Suy ra $\min_{(0,+\infty)}$ f(t)=f(3)=-5

Do đó P≥-5, dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Vậy giá tri nhỏ nhất của P là -5,đạt khi a=b=c=1

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.