Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx;x \ge 1\\2x - 1;x < 1\end{array} \right.\).

Câu hỏi số 566609:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx;x \ge 1\\2x - 1;x < 1\end{array} \right.\). Để hàm số đã cho có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(2a + b\) bằng:

A. \(2\)

B. \(5\)

C. \( - 2\)

D. \( - 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566609

Phương pháp giải

+ Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

+ Để hàm số đã cho có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = {\bf{R}},x = 1 \in D\)

+ Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {a{x^2} + bx} \right) = a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 1\end{array} \right.\). Do đó \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow a + b = 1\)

+ Tính các đạo hàm một bên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x - 1 - 1}}{{x - 1}} = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a{x^2} + bx - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a{x^2} + bx - a - b}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a\left( {{x^2} - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b} \right] = 2a + b\)

Khi đó YCBT trở thành \(2a + b = 2\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.