Hai nguồn sóng cùng pha A, B dao động trên mặt nước, I là trung điểm của \({\rm{AB}}\), điểm J

Câu hỏi số 566645:

Vận dụng cao

Hai nguồn sóng cùng pha A, B dao động trên mặt nước, I là trung điểm của \({\rm{AB}}\), điểm J nằm trên đoạn AI và IJ = 7cm. Điểm M trên mặt nước nằm trên đường vuông góc với \({\rm{AB}}\) và đi qua A, với AM = x. Đồ thị hình bên biểu diễn sự phụ thuộc của góc \(\alpha = \,\,\widehat {{\rm{IMJ}}}\) vào \({\rm{x}}.\) Khi x = b và x = 60 cm thì M tương ứng là điểm dao động cực đại gần A nhất và xa A nhất, khi x = a và x = 60 cm thì \(\alpha \) có cùng giá trị. Tỉ số \(\dfrac{b}{a}\) gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 4,9.

B. 4,8.

C. 3,8.

D. 3,9.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566645

Phương pháp giải

Công thức lượng giác: \(\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)

Bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Điều kiện điểm cực đại giao thoa: \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)

Giải chi tiết

Đặt \(y = AI = \dfrac{{AB}}{2}\), ta có hình vẽ:

Ta có: \(\tan \widehat {AMJ} = \dfrac{{y - 7}}{x};\,\,\tan \widehat {AMI} = \dfrac{y}{x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \alpha = \tan \left( {\widehat {AMI} - \widehat {AMJ}} \right) = \dfrac{{\tan \widehat {AMI} - \tan \widehat {AMJ}}}{{1 + \tan \widehat {AMI}\tan \widehat {AMJ}}}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{\dfrac{y}{x} - \dfrac{{y - 7}}{x}}}{{1 + \dfrac{y}{x}.\dfrac{{y - 7}}{x}}} = \dfrac{7}{{x + \dfrac{{y\left( {y - 7} \right)}}{x}}}\end{array}\)

Để \({\left( {\tan \alpha } \right)_{\max }} \Rightarrow {\left[ {x + \dfrac{{y\left( {y - 7} \right)}}{x}} \right]_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\begin{array}{l}x + \dfrac{{y\left( {y - 7} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {y\left( {y - 7} \right)} \\ \Rightarrow {\left[ {x + \dfrac{{y\left( {y - 7} \right)}}{x}} \right]_{\min }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{y\left( {y - 7} \right)}}{x} \Rightarrow {x^2} = y\left( {y - 7} \right)\end{array}\)

Từ đồ thị ta thấy tại \({\left( {\tan \alpha } \right)_{\max }} \Rightarrow x = 12\,\,\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow y\left( {y - 7} \right) = {12^2} \Rightarrow y = 16\,\,\left( {cm} \right)\)

Tại x = 60cm và x = a, \(\tan \alpha \) có cùng giá trị, ta có:

\(\begin{array}{l}60 + \dfrac{{16.\left( {16 - 7} \right)}}{{60}} = a + \dfrac{{16.\left( {16 - 7} \right)}}{a}\\ \Rightarrow a + \dfrac{{144}}{a} = 62,4 \Rightarrow a = 2,4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Tại x = 60cm, M dao động với biên độ cực đại xa A nhất → M là cực đại bậc 1

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + A{B^2}} - x = k\lambda \Rightarrow \sqrt {{{60}^2} + {{32}^2}} - 60 = \lambda \\ \Rightarrow \lambda = 8\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Số cực đại trên AI là:

\(n = \left[ {\dfrac{{AI}}{{\dfrac{\lambda }{2}}}} \right] = \left[ {\dfrac{{16}}{{\dfrac{8}{2}}}} \right] = 4\)

Tại x = b, M dao động với biên độ cực đại gần A nhất → M là cực đại bậc 3

\(\begin{array}{l}\sqrt {{b^2} + A{B^2}} - b = k\lambda \Rightarrow \sqrt {{b^2} + {{32}^2}} - b = 3.8\\ \Rightarrow b = \dfrac{{28}}{3}\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{{\dfrac{{28}}{3}}}{{2,4}} \approx 3,9\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.