Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm

Câu hỏi số 566877:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt các tia \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho độ dài \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

A. \(\dfrac{{5\sqrt {21} }}{{21}}\).

B. \(9\sqrt {93} \).

C. \(\dfrac{{18\sqrt {91} }}{{91}}\).

D. \(\dfrac{{4\sqrt {41} }}{{15}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566877

Phương pháp giải

- Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)\,\,\left( {a,b,c > 0} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 9a\end{array} \right.\).

- Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

- Dựa vào giả thiết \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) tìm được \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(\dfrac{1}{{{{\left( {d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 9a\end{array} \right.\).

Ta có: phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{{3a}} + \dfrac{z}{{9a}} = 1\)

Theo giả thiết \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) nên \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{3a}} + \dfrac{3}{{9a}} = 1 \Rightarrow a = 2\).

Khi đó \(b = 6,\,\,c = 18\).

Ta có: \(\dfrac{1}{{{{\left( {d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{6^2}}} + \dfrac{1}{{{{18}^2}}}\\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{18\sqrt {91} }}{{91}}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.