Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z - 8 = 0\) và đường thẳng

Câu hỏi số 566879:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z - 8 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( P \right)\) và \(d\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) sao cho \(\overrightarrow {PA} + 3\overrightarrow {PB} = \overrightarrow 0 \) với \(P\left( { - 1;2; - 2} \right)\). Tính \(PA + PB\).

A. \(5\sqrt 2 \).

B. \(2\sqrt 7 + 3\sqrt 3 \).

C. \(4\sqrt 5 \).

D. \(5\sqrt 2 + \sqrt {14} \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566879

Phương pháp giải

- Tham số hóa \(B \in d \Rightarrow B\left( {2t + 2;t + 3; - t - 1} \right)\).

- Dựa vào \(\overrightarrow {PA} + 3\overrightarrow {PB} = \overrightarrow 0 \) tìm tọa độ \(A\) theo \(t\).

- Dựa vào \(A \in \left( P \right)\) tìm được \(t\).

- Tính \(PA + PB\).

Giải chi tiết

Ta có: \(B \in d \Rightarrow B\left( {2t + 2;t + 3; - t - 1} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {PB} = \left( {2t + 3;t + 1; - t + 1} \right) \Rightarrow - 3\overrightarrow {PB} = \left( { - 6t - 9; - 3t - 3;3t - 3} \right)\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {PA} = \left( {{x_A} + 1;{y_A} - 2;{z_A} + 2} \right)\).

Theo giả thiết \(\overrightarrow {PA} + 3\overrightarrow {PB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {PA} = - 3\overrightarrow {PB} \)

Ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + 1 = - 6t - 9\\{y_A} - 2 = - 3t - 3\\{z_A} + 2 = 3t - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 6t - 10\\{y_A} = - 3t - 1\\{z_A} = 3t - 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( { - 6t - 10; - 3t - 1;3t - 5} \right)\).

Hơn nữa \(A \in \left( P \right) \Rightarrow - 6t - 10 - 6t - 2 - 3t + 5 - 8 = 0 \Rightarrow t = - 1\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PA} = \left( { - 3;0; - 6} \right)\\\overrightarrow {PB} = \left( {1;0;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PA = 3\sqrt 5 \\PB = \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow PA + PB = 4\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.