Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 < y \le 2022\) và \({\log _2}\left(

Câu hỏi số 566886:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 < y \le 2022\) và \({\log _2}\left( {\dfrac{{{3^x} - 1}}{y}} \right) = y + 1 - {3^x}\)?

A. 7.

B. 6.

C. 2022.

D. 2021.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566886

Phương pháp giải

- Đưa về dạng hàm đặc trưng, tìm mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\).

- Biện luận phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\({\log _2}\left( {\dfrac{{{3^x} - 1}}{y}} \right) = y + 1 - {3^x}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} - 1} \right) - {\log _2}y = y + 1 - {3^x}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} - 1} \right) + {3^x} - 1 = {\log _2}y + y\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t,\,\,t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {3^x} - 1 = y \Leftrightarrow x = {\log _3}\left( {y + 1} \right)\).

Mà \(0 < y \le 2022\) \( \Rightarrow 0 < {\log _3}\left( {y + 1} \right) \le {\log _3}2023\).

\( \Rightarrow 0 < x \le {\log _3}\left( {2023} \right) \approx 6,9\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Ứng với mỗi x cho 1 giá trị của y tương ứng.

Vậy có 6 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.