Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 7x + 10} \right)\left( {{x^2} - 2\left(

Câu hỏi số 566887:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 7x + 10} \right)\left( {{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 6} \right)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) không vượt quá 2022 sao cho hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) có 9 điểm cực trị?

A. 2019.

B. 2020.

C. 2023.

D. 2021.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566887

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm hàm hợp \(g'\left( x \right)\).

- Tìm điều kiện để \(g'\left( x \right)\) có 9 nghiệm đơn phân biệt.

- Sử dụng điều kiện có 2 nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 10 = 0\\{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\\{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2m + 6 = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Giải \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow x = \pm 1\\{x^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow x = \pm 2\\{t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 6 = 0,\,\,t = {x^2} + 1\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) có 9 điểm cực trị thì (*) có 2 nghiệm \(t > 1\) phân biệt và \(t \notin \left\{ {1;2;5} \right\}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2\left( {m + 1} \right) + 2m + 6 \ne 0\\4 - 4\left( {2m + 1} \right) + 2m + 6 \ne 0\\25 - 10\left( {m + 1} \right) + 2m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {2m + 6} \right) > 0\\{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right) > 2\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) = {t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 = 2m + 6 - 2m - 2 + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne \dfrac{{21}}{6}\\{m^2} - 5 > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 1,\,\,m \ne \dfrac{{21}}{6}\\\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 5 \\m < - \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \sqrt 5 \\m \ne \dfrac{{21}}{6}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \le 2022\) ta được \(m \in \left\{ {3;4;...2022} \right\}\).

Vậy có 2020 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.