Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\,\left| {z + w} \right| =
Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {zw + 2i\left( {z + w} \right) - 4} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đưa về bài toán hình Oxy.
Gọi \(A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \(z,w\). Dựng hình thoi \(OACB\).
Ta có: \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow A,B\) thuộc đường tròn tâm \(O\), bán kính \(1\) và \(OA = \sqrt 2 \).
Xét tam giác \(OAC:\cos A = \dfrac{{O{A^2} + A{C^2} - A{C^2}}}{{2.OA.AC}} = \dfrac{{1 + 1 - 2}}{{2.1.1}} = 0\).
\( \Rightarrow \widehat A = {90^0} \Rightarrow \) \(OACB\) là hình vuông và \(AB = \sqrt 2 \).
\(P = \left| {zw + 2i\left( {z + w} \right) - 4} \right| = \left| {zw + 2iz + 2iw + 4{i^2}} \right| = \left| {\left( {z + 2i} \right)\left( {w + 2i} \right)} \right| = \left| {z + 2i} \right|.\left| {w + 2i} \right|\)
\( = IA.IB\,\,\).(trong đó: \(I\left( {0; - 2} \right)\))
Đặt \(A\left( {\sin \alpha ;\cos \alpha } \right) \Rightarrow B\left( {\cos \alpha ; - \sin \alpha } \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}P = IA.IB = \sqrt {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {\cos \alpha + 2} \right)}^2}} \right).\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {\sin \alpha - 2} \right)}^2}} \right)} = \sqrt {\left( {5 + 4\cos \alpha } \right).\left( {5 - 4\sin \alpha } \right)} \\ & \,\,\,\,\,\, = \sqrt {25 - 20\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right) - 16\sin \alpha \cos \alpha } .\end{array}\)
Đặt \(t = \sin \alpha - \cos \alpha \,\,\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} \right) \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - {t^2}\).
\(P = \sqrt {25 - 20t - 8\left( {1 - {t^2}} \right)} = \sqrt {8{t^2} - 20t + 17} = \sqrt {2\left( {4{t^2} - 2.2t.\dfrac{5}{2} + \dfrac{{25}}{4}} \right) + \dfrac{9}{2}} = \sqrt {2{{\left( {2t - \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + \dfrac{9}{2}} \ge \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\) khi \(t = \dfrac{5}{4} \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
