Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {zw + 2i\left( {z + w} \right) - 4} \right|\) bằng

Câu 567272: Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {zw + 2i\left( {z + w} \right) - 4} \right|\) bằng

A. \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\dfrac{{1 + 5\sqrt 2 }}{4}\).

C. \(5 - 2\sqrt 2 \).

D. \(\sqrt 5 \).

Câu hỏi : 567272

Phương pháp giải:

Đưa về bài toán hình Oxy.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(A,B\) lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \(z,w\). Dựng hình thoi \(OACB\).

Ta có: \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow A,B\) thuộc đường tròn tâm \(O\), bán kính \(1\) và \(OA = \sqrt 2 \).

Xét tam giác \(OAC:\cos A = \dfrac{{O{A^2} + A{C^2} - A{C^2}}}{{2.OA.AC}} = \dfrac{{1 + 1 - 2}}{{2.1.1}} = 0\).

\( \Rightarrow \widehat A = {90^0} \Rightarrow \) \(OACB\) là hình vuông và \(AB = \sqrt 2 \).

\(P = \left| {zw + 2i\left( {z + w} \right) - 4} \right| = \left| {zw + 2iz + 2iw + 4{i^2}} \right| = \left| {\left( {z + 2i} \right)\left( {w + 2i} \right)} \right| = \left| {z + 2i} \right|.\left| {w + 2i} \right|\)

\( = IA.IB\,\,\).(trong đó: \(I\left( {0; - 2} \right)\))

Đặt \(A\left( {\sin \alpha ;\cos \alpha } \right) \Rightarrow B\left( {\cos \alpha ; - \sin \alpha } \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}P = IA.IB = \sqrt {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {\cos \alpha + 2} \right)}^2}} \right).\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {\sin \alpha - 2} \right)}^2}} \right)} = \sqrt {\left( {5 + 4\cos \alpha } \right).\left( {5 - 4\sin \alpha } \right)} \\ & \,\,\,\,\,\, = \sqrt {25 - 20\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right) - 16\sin \alpha \cos \alpha } .\end{array}\)

Đặt \(t = \sin \alpha - \cos \alpha \,\,\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} \right) \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - {t^2}\).

\(P = \sqrt {25 - 20t - 8\left( {1 - {t^2}} \right)} = \sqrt {8{t^2} - 20t + 17} = \sqrt {2\left( {4{t^2} - 2.2t.\dfrac{5}{2} + \dfrac{{25}}{4}} \right) + \dfrac{9}{2}} = \sqrt {2{{\left( {2t - \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + \dfrac{9}{2}} \ge \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\) khi \(t = \dfrac{5}{4} \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.