Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 16 = 0\) và mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 567271:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 16 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 21\). Một khối hộp hình chữ nhật \(\left( H \right)\) có bốn đỉnh nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và bốn đỉnh nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi \(\left( H \right)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của \(\left( H \right)\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(\left( Q \right):2x + by + cz + d = 0\). Giá trị \(b + c + d\) bằng

A. \( - 15\).

B. \( - 13\).

C. \( - 14\).

D. \( - 7\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567271

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 21\) có tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {21} \).

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 + 1 + 2.3 + 16} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 9 > \sqrt {21} \,\, \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) và mp\(\left( P \right)\) rời nhau.

Gọi khối hộp chữ nhật \(\left( H \right)\) là: \(ABCD.A'B'C'D'\), trong đó: các điểm \(A',B',C',D' \in \left( P \right)\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa các điểm \(A,B,C,D\) \( \Rightarrow \left( Q \right)//\left( P \right)\).

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\).

\(\left( H \right)\) có thể tích lớn nhất \( \Rightarrow mp\left( \alpha \right)\) phải nằm giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta có hình vẽ sau:

Giả sử các độ dài của hình chữ nhật \(ABCD\) là \(x,y\,\left( {x,y > 0;\,\,{x^2} + {y^2} < 84} \right) \Rightarrow {S_{ABCD}} = xy\).

Đồng thời \(AC = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Rightarrow JA = \dfrac{1}{2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \) (\(J\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\))

\( \Rightarrow IJ = \sqrt {{R^2} - J{A^2}} = \sqrt {21 - \dfrac{1}{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \)

\(\Rightarrow h = HJ = \sqrt {21 - \dfrac{1}{4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + 9 = \dfrac{1}{2}\sqrt {84 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + 9\).

Thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) là:

\(V = xy\left( {\dfrac{1}{2}\sqrt {84 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + 9} \right) = \dfrac{1}{2}xy\left( {\sqrt {84 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} + 18} \right) \le \dfrac{1}{2}xy\left( {\sqrt {84 - 2xy} + 18} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}t\left( {\sqrt {84 - 2t} + 18} \right),\,0 < t < 42\) có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {84 - 2t} + 18} \right) + \dfrac{1}{2}t.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {84 - 2t} }} \)

\(= \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {84 - 2t} + 18 - \dfrac{t}{{\sqrt {84 - 2t} }}} \right) \)

\(= \dfrac{{84 - 3t + 18\sqrt {84 - 2t} }}{{2\sqrt {84 - 2t} }}\).

\(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow 84 - 3t + 18\sqrt {84 - 2t} = 0 \Leftrightarrow 6\sqrt {84 - 2t} = t - 28 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 28\\36\left( {84 - 2t} \right) = {t^2} - 56t + 784\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 28\\{t^2} + 16t - 2240 = 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 28\\\left[ \begin{array}{l}t = - 56\\t = 40\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow t = 40\,\left( {TM} \right)\).

Ta có bảng sau:

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;42} \right)} f\left( t \right) = f\left( {40} \right) = 400 \Rightarrow V \le 400\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\xy = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\sqrt {10} \).

Vậy, \(\left( H \right)\) có thể tích lớn nhất là 400 khi \(x = y = 2\sqrt {10} \).

Khi đó: \(HJ = \dfrac{1}{2}\sqrt {84 - \left( {40 + 40} \right)} + 9 = 10\). Mp\(\left( Q \right)\) là mp đi song song \(\left( P \right)\), cách \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 10 và điểm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) nằm giữa hai mp \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\( \Rightarrow \left( Q \right):\)\(2x - y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne 16} \right)\).

Lấy \(T\left( { - 8;0;0} \right) \in \left( P \right)\). \( \Rightarrow d\left( {T;\left( Q \right)} \right) = 10 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( { - 8} \right) - 0 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 10 \Leftrightarrow \left| {m - 16} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 16 = 30\\m - 16 = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 46\\m = - 14\end{array} \right.\).

+) \(m = 46\,\, \Rightarrow \left( Q \right):\)\(2x - y + 2z + 46 = 0 \Rightarrow d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 - \left( { - 1} \right) + 2.3 + 46} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 19 > JH\).

\( \Rightarrow \) Điểm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) không nằm giữa hai mp \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\( \Rightarrow \) Loại.

+) \(m = - 14\,\, \Rightarrow \left( Q \right):\)\(2x - y + 2z - 14 = 0 \Rightarrow d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 - \left( { - 1} \right) + 2.3 - 14} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1 \Rightarrow d\left( {I;\left( Q \right)} \right) + d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = JH\)

\( \Rightarrow \) Điểm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) nằm giữa hai mp \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\( \Rightarrow m = - 14\) thỏa mãn.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = 2\\d = - 14\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow b + c + d = - 13\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.