Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông cân tại B, \(BA = BC = a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi \(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AI\) và \(BC\) bằng

Câu 567545: Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông cân tại B, \(BA = BC = a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi \(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AI\) và \(BC\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 a}}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 a}}{3}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

Câu hỏi : 567545

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}\)

\(SA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) nên \(I\) là trung điểm của \(SC\).

Gọi \(J\) là trung điểm của \(SB\). Khi đó: \(BC//IJ \Leftrightarrow BC//\left( {AIJ} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {BC,AI} \right) = d\left( {BC,\left( {AIJ} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AIJ} \right)} \right) = d\left( {S,AIJ} \right)\)

Có \(\dfrac{{{V_{S.AIJ}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AIJ}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

\(\Delta AIJ\) vuông tại \(J\) ta có: \(AJ = a;IJ = \dfrac{a}{2} \Rightarrow {S_{AIJ}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)

\({V_{S.AIJ}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{S_{AIJ}}.d\left( {S,\left( {AIJ} \right)} \right) = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

\( \Rightarrow d\left( {S,\left( {AIJ} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.