Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 567553:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\) và \(f\left( x \right) + x.f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \left[ {1;2} \right]\). Giá trị của \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 x.f\left( x \right)dx\) bằng

A. \(\ln 3\)

B. \(\ln \dfrac{3}{2}\)

C. \(\ln \dfrac{4}{3}\)

D. \(\ln \dfrac{3}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567553

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) + x.f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\)

\( \Rightarrow - \dfrac{{\left[ {x.f\left( x \right)} \right]'}}{{{{\left[ {x.f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - 2x - 1 \Rightarrow \left[ {\dfrac{1}{{x.f\left( x \right)}}} \right]' = - 2x - 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{x.f\left( x \right)}} = - {x^2} - x + C\).

Từ \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\) suy ra \(C = 0\). Hay \(x.f\left( x \right) = \dfrac{1}{{ - {x^2} - x}}\)

Khi đó: \(\int\limits_1^2 {x.f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{x}} \right)dx} = \ln \dfrac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.