Gọi \(x,\,y\) là các số thực dương thoả mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}}

Câu hỏi số 569943:

Vận dụng

Gọi \(x,\,y\) là các số thực dương thoả mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\) sao cho biểu thức \(P = \dfrac{{4x + 5y - 3}}{{x + 2y + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(2021x + 2022y\) bằng

A. 6064.

B. 4043.

C. 6065.

D. 8085.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:569943

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.

Giải chi tiết

Với \(x,y > 0\): Phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 2 + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}3\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\,\,\,(1)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t,\,\,\left( {t > 0} \right):\,\,f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: phương trình (1) \( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = \dfrac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\left( {x - y} \right)^2} + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\left( {x + y} \right)^2} - 12\left( {x + y} \right) + 12 + {\left( {x - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}{\left( {x + y - 2} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\left( {x - y} \right)^2} = 1\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + y - 2} \right) = \cos \alpha \\\dfrac{1}{2}\left( {x - y} \right) = \sin \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2 + \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha \\x - y = 2\sin \alpha \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha + \sin \alpha \\y = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha - \sin \alpha \end{array} \right.\):

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{4x + 5y - 3}}{{x + 2y + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{4\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha + \sin \alpha } \right) + 5\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha - \sin \alpha } \right) - 3}}{{\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha + \sin \alpha } \right) + 2\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha - \sin \alpha } \right) + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{4\sqrt 3 + 4\cos \alpha + 4\sqrt 3 \sin \alpha + 5\sqrt 3 + 5\cos \alpha - 5\sqrt 3 \sin \alpha - 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + \cos \alpha + \sqrt 3 \sin \alpha + 2\sqrt 3 + 2\cos \alpha - 2\sqrt 3 \sin \alpha + \sqrt 3 }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{9\cos \alpha - \sqrt 3 \sin \alpha + 6\sqrt 3 }}{{3\cos \alpha - \sqrt 3 \sin \alpha + 4\sqrt 3 }}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3P\cos \alpha - \sqrt 3 P\sin \alpha + 4\sqrt 3 P = 9\cos \alpha - \sqrt 3 \sin \alpha + 6\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \left( {3P - 9} \right)\cos \alpha + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 3 P} \right)\sin \alpha = 4\sqrt 3 P - 6\sqrt 3 \end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {3P - 9} \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 3 P} \right)^2} \ge {\left( {4\sqrt 3 P - 6\sqrt 3 } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9{P^2} - 54P + 81 + 3 - 6P + 3{P^2} - 48{P^2} + 144P - 108 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 36{P^2} + 84P - 24 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \le P \le 2.\end{array}\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = 2\) khi và chỉ khi \( - 3\cos \alpha - \sqrt 3 \sin \alpha = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \sin \alpha = - \sqrt 3 \cos \alpha + 2\).

Mà \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\left( { - \sqrt 3 \cos \alpha + 2} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)

\( \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\alpha - 4\sqrt 3 \cos \alpha + 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt 3 \cos \alpha + 2 = - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2} = 2\\y = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\\ \Rightarrow 2021x + 2022y = 2021.2 + 2022.1 = 4042 + 2022 = 6064.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.