Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a .

Câu hỏi số 57028:

Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60^o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a .

A. $\frac{5a^{3}\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:57028

Giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD => SO ⊥ (ABCD)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD ; G là trọng tâm ∆SAC .

Ta có SJ ⊥ CD ; IJ ⊥ CD => CD ⊥ (SIJ)

Góc SIJ < 90⁰ => Góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy ( ABCD ) là góc SJI

=> góc SJI = 60⁰

Ta thấy A, G, M thuộc (P); A, G, M thuộc (SAC) => A,G,M thẳng hàng và M là trung điểm của SC

G là trọng tâm ∆SAC . => ; SO là trung tuyến tam giác SBD => G cũng là trọng tâm tam giác SBD

Lập luận tượng tự ta cũng có => B,G, N thẳng hàng và N là trung điểm của SD .

Gọi K là trung điểm của MN => K cũng là trung điểm của SJ .

∆SJI đều cạnh a ;G cũng là trọng tâm ∆SJI nên IK ⊥ SJ ;

Dễ thấy SJ ⊥ MN nên SJ ⊥ (ABMN)

Thể tích khối chóp S._ABMN là : V = $\frac{1}{3}$ SK.S_ABMN

∆SJI đều cạnh = > IK = $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ ; SK = $\frac{a}{2}$

S_ABMN= $\frac{1}{2}$ (AB + MN)IK = $\frac{1}{2}$ (a + $\frac{a}{2}$ ) $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ = $\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}$ => V = $\frac{1}{3}$ . $\frac{a}{2}$ . $\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}$

= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.