Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 48 ( + )

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 57034:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a² + b² + c²= 5( a + b + c) - 2 ab .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 48 ( $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}$ )

A. minP = 56

B. minP = 58

C. minP = 59

D. minP = 57

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:57034

Giải chi tiết

Ta có a² + b² + c² = 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c² = 5(a + b + c)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

(a + b)² + c² ≥ $\frac{1}{2}$ (a + b + c)² => $\frac{1}{2}$ (a + b + c)² ≤ 5(a + b + c)

=> 0 < a + b + c ≤ 10

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10}$ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{a+10}{3}}}$ ; $\sqrt{\frac{a+10}{3}}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{a+10}{3}}$ .4 ≤ $\frac{1}{4}$ ( $\frac{a+10}{3}$ + 4)

= $\frac{a+22}{12}$ => $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a}+10}$ ≥ $\frac{12}{a+22}$

$\sqrt[3]{b+c}$ = $\frac{1}{4}$ $\sqrt[3]{(b+c).8.8}$ ≤ $\frac{1}{4}$ . $\frac{b+c+8+8}{3}$ = $\frac{b+c+16}{12}$

=> $\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}$ ≥ $\frac{12}{b+c+16}$

=> P ≥ a = b +c + 48.12( $\frac{1}{a+22}$ + $\frac{1}{b+c+16}$ )

Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được

$\frac{1}{a+22}$ + $\frac{1}{b+c+16}$ ≥ $\frac{4}{a+b+c+38}$

=> P ≥ a + b + c + $\frac{2304}{a+b+c+38}$

Đặt t = a + b + c => t ∈ (0;10] => P ≥ t + $\frac{2304}{t+38}$ . Xét hàm f(x) = t + $\frac{2304}{t+38}$ trên (0;10]

Ta có f'(t) = 1 - $\frac{2304}{(t+38)^{2}}$ = $\frac{(t-10)(t+86)}{(t+38)^{2}}$ => f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]

=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a+b+c=10\\ a+b=c\\ \frac{a+10}{3}=4\\ b+c=8 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=5 \end{matrix}\right.$

Vậy minP = 58 đạt được khi $\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=5 \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.