Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;1; - 3} \right)\) và \(B\left( { - 2;3;1} \right)\). Xét hai
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;1; - 3} \right)\) và \(B\left( { - 2;3;1} \right)\). Xét hai điểm \(M,\,N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho \(MN = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Dựng \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó, tập hợp các điểm \(B'\) là đường tròn \(\left( C \right)\) nằm trên mặt phẳng \(y = 3\) có tâm \(B\left( { - 2;3;1} \right)\), bán kính \(R = MN = 2\). Đồng thời, ta có: \(B'M = BN\).
Ta thấy: \(A\left( {1;1; - 3} \right)\) và \(B\left( { - 2;3;1} \right)\) nằm cùng phía so với mp\(\left( {Oxz} \right)\).
Lấy \(A'\) đối xứng \(A\) qua mp\(\left( {Oxz} \right) \Rightarrow AM = A'M\).
Khi đó: \(AM + BN = A'M + B'M \ge A'B' \ge A'{B_0}\).
Trong đó: \({B_0}\) là giao điểm của mặt phẳng chứa \(A,B\) và vuông góc với \(\left( {Oxz} \right)\) với đường tròn \(\left( C \right)\) và gần điểm \(A\) hơn.
Dấu “=” xảy ra khi : \(B'\) trùng \({B_0}\) và điểm \(M\) nằm giữa \(A'\) và \({B_0}\). (Hình 2)
\( \Rightarrow {\left( {AM + BN} \right)_{\min }} = A'{B_0}\).
Ta có: \(AH = A'H = 1,\,BK = 3,MN = 2\).
\(H\left( {1;0; - 3} \right)\) và \(K\left( { - 2;0;1} \right) \Rightarrow HK = 5\).
\(\Delta A'HM\) đồng dạng \(\Delta BKN \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{NK}} = \dfrac{{AH}}{{BK}} = \dfrac{1}{3}\).
Mà \(HM + NK = HK - MN = 5 - 2 = 3 \Rightarrow AH = \dfrac{3}{4},NK = \dfrac{9}{4}\).
\( \Rightarrow AM + BN = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2}} + \sqrt {{3^3} + {{\left( {\dfrac{9}{4}} \right)}^2}} = 5\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng 5.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
