Tính tích phân: I = ( 4 - |x|

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 5714:

Tính tích phân: I = $\int_{-2}^{2}$ ( 4 - |x| - 2 $\sqrt{1-0,25x^{2}}$ )dx.

A. I = 12 + 2π.

B. I = - 12 - 2π.

C. I = 12 - 2π.

D. I = - 12 + 2π.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5714

Giải chi tiết

Ta có: I = $\int_{-2}^{2}$ (4 - |x| -2 $\sqrt{1-0,25x^{2}}$ )dx

= $\int_{-2}^{2}$ 4dx - $\int_{-2}^{2}$ |x|dx- 2 $\int_{-2}^{2}$ $\sqrt{1-\frac{1}{4}x^{2}}$ dx.

Ta tính I₁ = $\int_{-2}^{2}$ 4dx = 4x $\begin{vmatrix}2\\-2\end{vmatrix}$ = 4(2 + 2) = 16;

I₂ = $\int_{-2}^{2}$ |x|dx = - $\int_{-2}^{0}$ xdx + $\int_{0}^{2}$ xdx = - $\frac{x^{2}}{2}$ $\begin{vmatrix}0\\-2\end{vmatrix}$ + $\frac{x^{2}}{2}$ $\begin{vmatrix}2\\0\end{vmatrix}$ = - $\frac{1}{2}$ ( 0² – ( -2)²) + $\frac{1}{2}$ (2² – 0²) = 4;

I₃ = 2 $\int_{-2}^{2}$ $\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ = $\int_{-2}^{2}$ $\sqrt{4-x^{2}}$ dx;

Đặt x = 2sint; t ∈ [- $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ]; dx = 2costdt;

Đổi cận x = - 2 => t = - $\frac{\pi }{2}$ ; x = 2 => t = $\frac{\pi }{2}$

Khi đó : I₃ = $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\sqrt{4-4sin^{2}t}$ .2costdt =4 $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ cos²tdt

= 4 $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{1+cos2t}{2}$ dt = 2 $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ dt + 2 $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ cos2tdt = 2t $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{2}\\-\frac{\pi }{2}\end{vmatrix}$ + sin2t $\begin{vmatrix}\frac{\pi }{2}\\-\frac{\pi }{2}\end{vmatrix}$ = 2π.

I = I₁ - I₂ - I₃ = 16 - 4 - 2π= 12 - 2π.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.