Chứng minh: cosx2 – 2cos + 1 ≥ 0 với ∀x∈[0; ].

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 5717:

Chứng minh: cosx² – 2cos + 1 ≥ 0 với ∀x∈[0; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ].

A. ?

B. ?

C. ?

D. ?

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5717

Giải chi tiết

Xét f(x) = cosx² – 2cosx + 1

Ta chứng minh f(x) ≥ 0 ∀ x∈[0; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ])

Trường hợp 1: x ∈[0;1]=> x² ≤ x, x²∈[0;1] => cosx² ≥ cosx (do cosx nghịch biến trên (0;1))=>cos²x – 2cosx + 1 ≥ 1 – cosx ≥ 0

Trường hợp 2: 1 < x < $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ : f(x) = cosx² – 2cosx + 1=>f’(x) = -2x.sin²x + 2sinx.

x∈[0; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ] => x < x² ∈[0; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ] => sinx < sinx² ( hàm y = sinx đồng biến trên (1; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ )

=> 2xsinx < 2xsinx² => - 2xsinx² < -2xsinx

=>f’(x) = -2xsinx² + 2sinx <-2xsinx + 2sinx = 2sinx(1- x) < 0

=>f(x) là hàm số nghịch biến tren [1; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ]

=>f(x) > f( $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ) =>cos $\frac{\pi }{2}$ – 2cos $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ + 1 > 0

(do $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ > $\frac{\pi }{3}$ => cos $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ < cos $\frac{\pi }{3}$ = $\frac{1}{2}$ =>2cos $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ < 2cos $\frac{\pi }{3}$ = 1).

Vậy ∀x∈[0; $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ ] ta có: cosx² – 2cosx + 1 ≥ 0

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.