Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Mặt phẳng \(\left( \alpha

Câu hỏi số 571750:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(AB\) và đi qua trung điểm \(M\) của cạnh \(SC\) và cắt hình chóp theo thiết diện là một hình đa giác có chu vi bằng \(7a\). Tính thể tích của khối nón có đỉnh \(S\) và đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn ngoại tiếp của tứ giác \(ABCD\).

A. \(\dfrac{{2\pi {a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{2\pi {a^3}\sqrt 6 }}{9}\).

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571750

Phương pháp giải

Thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(SD \Rightarrow MN//CD//AB\).

\( \Rightarrow A,B,M,N\) đồng phẳng.

\( \Rightarrow \) Thiết diện của \(\left( \alpha \right)\) khi cắt hình chóp \(S.ABCD\) là tứ giác \(ABMN\).

Tứ giác \(ABMN\) có \(AB = 2a,\,\,MN = \dfrac{1}{2}CD = a\).

Giả sử, độ dài các cạnh bên của hình chóp \(S.ABCD\) là \(x\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BM = \sqrt {\dfrac{{2\left( {S{B^2} + B{C^2}} \right) - S{C^2}}}{4}} = \sqrt {\dfrac{{2\left( {{x^2} + 4{a^2}} \right) - {x^2}}}{4}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 8{a^2}} }}{2}.\end{array}\)

\( \Rightarrow BM = AN = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 8{a^2}} }}{2}\).

Chu vi tứ giác \(ABMN\) là: \(2a + 2.\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 8{a^2}} }}{2} + a = 7a\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 8{a^2}} = 4a \Leftrightarrow {x^2} = 8{a^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a\).

Gọi \(\left( N \right)\) là khối nón có đỉnh \(S\) và đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn ngoại tiếp của tứ giác \(ABCD\).

Bán kính đường tròn đáy của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(R = OA = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).

Chiều cao của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(h = SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 6 \).

Thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .2{a^2}.a\sqrt 6 = \dfrac{{2\pi {a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.