Tìm số giá trị nguyên của tham số thực \(m\) đề tồn tại các số thực \(x,y\) thỏa
Tìm số giá trị nguyên của tham số thực \(m\) đề tồn tại các số thực \(x,y\) thỏa mãn
\({e^{{x^2} + {y^2} - m}} + {e^{x + y + xy - m}} = {x^2} + {y^2} + x + y + xy - 2m + 2\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Dùng BĐT: \({e^x} \ge 1 + x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- Dùng BĐT Cauchy: \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4},\,\,x,y > 0\).
Ta chứng minh BĐT \({e^t} \ge 1 + t,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\left( 1 \right)\).
Xét \(f\left( t \right) = {e^t} - t - 1,\,\,t \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( t \right) = {e^t} - 1\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \mathbb{R}\).
Áp dụng (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{e^{{x^2} + {y^2} - m}} \ge {x^2} + {y^2} - m + 1\\{e^{x + y + xy - m}} \ge x + y + xy - m + 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {e^{{x^2} + {y^2} - m}} + {e^{x + y + xy - m}} \ge {x^2} + {y^2} - m + x + y + xy - m + 2\)
Như vậy bất phương trình đã cho\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = m\\x + y + xy = m\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} = x + y + xy\, \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = x + y + 3xy\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(x + y + 3xy \le x + y + \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le x + y + \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x + y \le 4\\ \Rightarrow 0 \le m = x + y + xy \le x + y + \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 4 + \dfrac{{{4^2}}}{4} = 8\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;...;8} \right\}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
