Tìm số giá trị nguyên của tham số thực \(m\) đề tồn tại các số thực \(x,y\) thỏa
Tìm số giá trị nguyên của tham số thực \(m\) đề tồn tại các số thực \(x,y\) thỏa mãn
\({e^{{x^2} + {y^2} - m}} + {e^{x + y + xy - m}} = {x^2} + {y^2} + x + y + xy - 2m + 2\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Dùng BĐT: \({e^x} \ge 1 + x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- Dùng BĐT Cauchy: \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4},\,\,x,y > 0\).
Ta chứng minh BĐT \({e^t} \ge 1 + t,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\left( 1 \right)\).
Xét \(f\left( t \right) = {e^t} - t - 1,\,\,t \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( t \right) = {e^t} - 1\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \mathbb{R}\).
Áp dụng (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{e^{{x^2} + {y^2} - m}} \ge {x^2} + {y^2} - m + 1\\{e^{x + y + xy - m}} \ge x + y + xy - m + 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {e^{{x^2} + {y^2} - m}} + {e^{x + y + xy - m}} \ge {x^2} + {y^2} - m + x + y + xy - m + 2\)
Như vậy bất phương trình đã cho\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = m\\x + y + xy = m\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} = x + y + xy\, \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = x + y + 3xy\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(x + y + 3xy \le x + y + \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le x + y + \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x + y \le 4\\ \Rightarrow 0 \le m = x + y + xy \le x + y + \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 4 + \dfrac{{{4^2}}}{4} = 8\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;...;8} \right\}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
