Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 2i} \right| = \left| {\overline z - 1}

Câu hỏi số 572297:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 2i} \right| = \left| {\overline z - 1} \right|,\,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \) và số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {w - 2 - 4i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} - 2 - 3i} \right| + \left| {{z_1} - w} \right|\) bằng

A. \(\sqrt {10} \).

B. \(\sqrt {17} - 1\).

C. \(4\).

D. \(\sqrt {26} \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:572297

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Giả sử \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R},\,\,w = u + vi,\,\,u,v \in \mathbb{R}\).

Theo giả thiết

\(\begin{array}{l} + \,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \Leftrightarrow y = - x + 3\,\,\left( \Delta \right)\\ + \,\,{\left( {u - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1\end{array}\).

Gọi \(M\left( {{z_1}} \right),\,\,N\left( {{z_2}} \right),\,\,H\left( {2;3} \right),\,\,A\left( w \right)\).

Khi đó: \(M,\,\,N \in \Delta ,\,\,MN = 2\sqrt 2 \) và \(A,\,\,H\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {2;4} \right),\,\,R = 1\).

Suy ra \(P = NH + AM\).

Gọi \(K\) đối xứng \(H\) qua \(\Delta \). Khi đó \(NH = NK\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là \(y = x + t\).

Hơn nữa \(H \in \Delta ' \Rightarrow 3 = 2 + t \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \left( {\Delta '} \right):y = x + 1\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(HK\). Khi đó \(M = \Delta ' \cap \Delta \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\).

Suy ra \(K\left( {0;1} \right)\).

Gọi \(d\) qua \(K\) và \(d\parallel \Delta \).

Trên \(d\) lấy \({K_1}\) sao cho \(K{K_1} = MN = 2\sqrt 2 \).

TH1: \(\overrightarrow {K{K_1}} = \overrightarrow {NM} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{K_1}\left( { - 2;3} \right)\\M{K_1} = NK = NH\end{array} \right. \Rightarrow P = NH + AM = M{K_1} + AM \ge A{K_1} \ge I{K_1} - R = \sqrt {17} - 1\).

TH2: \(\overrightarrow {K{K_2}} = \overrightarrow {NM} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{K_1}\left( {2; - 1} \right)\\M{K_1} = NK = NH\end{array} \right. \Rightarrow P = NH + AM = M{K_1} + AM \ge A{K_1} \ge I{K_1} - R = 5 - 1 = 4\).

Vậy \(\min P = \sqrt {17} - 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.