Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 3 =
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 3 = 0,\,\,\left( Q \right):x + 2y - 2z - 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\). Gọi \(M\) là điểm di động trên \(\left( S \right)\) và \(N\) là điểm di động trên \(\left( P \right)\) sao cho \(MN\) luôn vuông góc với \(\left( Q \right)\). Giá trị lớn nhất của đoạn thẳng \(MN\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(MN\) và \(\left( P \right)\), \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right)\).
Như vậy \(MN\) lớn nhất khi và chỉ khi \(MH\) lớn nhất.
- \(\max MH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) + R = 3\sqrt 3 + 5\).
Ta có: mặt cầu \(\left( S \right)\) có \(I\left( {1; - 2;3} \right),\,\,R = 5\).
Lại có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\sqrt 3 > R,\,\,d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{14}}{3} < R\).
\(MN \bot \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{MN}}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(MN\) và \(\left( P \right)\), \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right)\).
Ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_{MN}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{MN}}} } \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Khi đó \(MN = \dfrac{{MH}}{{\sin \alpha }} = MH\sqrt 3 \).
Như vậy \(MN\) lớn nhất khi và chỉ khi \(MH\) lớn nhất
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) + R = 3\sqrt 3 + 5\\ \Leftrightarrow MN = 9 + 5\sqrt 3 \end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
