Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz + yz + 1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 57369:

Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz + yz + 1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = $\frac{2x}{x^{2}+1}$ + $\frac{2y}{y^{2}+1}$ + $\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}$

A. $\frac{5}{2}$

B. - $\frac{3}{2}$

C. $\frac{3}{2}$

D. - $\frac{5}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:57369

Giải chi tiết

Đặt a = $\frac{1}{x}$ ; b = $\frac{1}{y}$ ; c = z => ab + bc + ca = 1

1 + a² = (a + b)(a + c); 1 + b² = (a + b)(b + c), 1 + c² = (a + c)(b + c)

$\frac{a}{1+a^{2}}$ + $\frac{b}{1+b^{2}}$ = $\frac{a}{(a+b)(a+c)}$ + $\frac{b}{(a+b)(b+c)}$ = $\frac{1+ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

= $\frac{1+ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\sqrt{1+c^{2}}}$ ≤ $\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}$

Ta có P ≤ $\frac{2}{\sqrt{1+c^{2}}}$ + $\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}$ = f(c)

=> f'(x) = $\frac{-2c(\sqrt{1+c^{2}}-2)}{(1+c^{2})^{2}}$

Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = $\frac{3}{2}$ đạt được khi x = y = 2 + √3, z = √3

Chú Ý : Có thể giải bài BPT theo phương pháp lượng giác hóa

$\frac{1}{x}$ = tan $\frac{A}{2}$ ; $\frac{1}{y}$ = tan $\frac{B}{2}$ ; z = tan $\frac{C}{2}$ , (A, B,C ∈ (0;π)) => A + B + C = π

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.