Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,I\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(IA\) lấy

Câu hỏi số 574105:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,I\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(IA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(IA = IM\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(ABMC\) là hình chữ nhật.

b) Lấy \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A\). Tứ giác \(AMCD\) là hình gì? Vì sao?

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(DM\) và \(BC\). Chứng minh \(DM = 3GM\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574105

Phương pháp giải

a) + Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+ Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

b) + Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

+ Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

+ Tính chất hình chữ nhật: các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

c) + Tính chất hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác:

- Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.

- Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(ABMC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}IB = IC\left( {gt} \right)\\AI = IM\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ABMC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(\angle BAC = 90^\circ \) (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\( \Rightarrow ABMC\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) Vì \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(A\) (gt) \( \Rightarrow BA = AD\) (tính chất đối xứng trục)

Vì \(ABMC\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow AB//MC\) hay \(AD//MC\)

\( \Rightarrow AMCD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi \(E = AC \cap DM\)

Vì \(AMCD\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE = EC\\ED = ME\end{array} \right.\)

Ta có:

+ \(IM = IA\left( {gt} \right) \Rightarrow IC\) là đường trung tuyến của \(\Delta AMC\)

+ \(AE = EM\left( {cmt} \right) \Rightarrow ME\) là đường trung tuyến của \(\Delta AMC\)

+ \(IC \cap ME = \left\{ G \right\}\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm \(\Delta AMC\)

\( \Rightarrow MG = \dfrac{2}{3}ME\)

Mà \(ED = ME = \dfrac{1}{2}DM\)(cmt)

\( \Rightarrow MG = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}DM = \dfrac{1}{3}DM\)

\( \Rightarrow DM = 3MG\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link