Cho biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}\)

Câu hỏi số 574478:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}\) (ĐK: \(x \ne - 2;2; - 3\))

a) Chứng minh \(A = \dfrac{{2x + 2}}{{x + 3}}\)

b) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A\) có giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:574478

Phương pháp giải

a) Quy tắc rút gọn phân thức:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

b) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) nhận giá trị nguyên:

+ Bước 1: Tách về dạng \(A = m\left( x \right) + \dfrac{k}{{g\left( x \right)}}\) trong đó \(m\left( x \right)\) là một biểu thứ nguyên khi \(x\) nguyên và \(k \in \mathbb{Z}\).

+ Bước 2: Để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{k}{{g\left( x \right)}}\) nguyên hay \(k \vdots g\left( x \right)\) tức là \(g\left( x \right) \in U\left( k \right)\)

+ Bước 3: Lập bảng tìm giá trị của \(x\)

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bào, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận.

Giải chi tiết

a) \(A = \left( {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}\left( {x \ne - 2;2;3} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}\\ = \dfrac{{x + x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}\\ = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 4}}.\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 3}}\\ = \dfrac{{2x + 2}}{{x + 3}}\end{array}\)

b) \(A = \dfrac{{2x + 2}}{{x + 3}} = \dfrac{{2\left( {x + 3} \right) - 4}}{{x + 3}} = 2 - \dfrac{4}{{x + 3}}\)

Để \(A\) có giá trị nguyên thì \(\dfrac{4}{{x + 3}}\) phải có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow 4 \vdots \left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right) \in U\left( 4 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right) \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 7; - 5; - 4; - 2; - 1;1} \right\}\)

Vì \(x \ne - 2;2;3\) nên \(x \in \left\{ { - 7; - 5; - 4; - 1;1} \right\}\)

Vy để \(A\) có giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 7; - 5; - 4; - 1;1} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link