Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A,AB = AC = 3a,AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(HC = 2HB\). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng

Câu 575489: Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A,AB = AC = 3a,AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(HC = 2HB\). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{2}\)

C. \(\sqrt 3 a\)

D. \(\dfrac{a}{2}\)

Câu hỏi : 575489

Đáp án : C
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{CH}} \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right)\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(HE \bot AC\) \(\left( {E \in AC} \right)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HE \bot AC}\\{B'H \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {EHB'} \right) \Rightarrow \left( {B'AC} \right) \bot \left( {EHB'} \right)\)
Trong \(\left( {B'EH} \right)\), kẻ \(HK \bot B'E\) \(\left( {H \in B'E} \right)\)
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot B'E}\\{\left( {B'AC} \right) \bot \left( {EHB'} \right)}\\{\left( {B'AC} \right) \cap \left( {EHB'} \right) = B'E}\end{array}} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {B'AC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}HK\).
Ta có: \(BH = \dfrac{1}{3}BC = \sqrt 2 a \Rightarrow B'H = \sqrt {B{B^2} - B{H^2}} = \sqrt 2 a\)
\(EH = \dfrac{2}{3}AB = 2a;B'E = \sqrt {E{H^2} + B'{H^2}} = \sqrt 6 a\)
\(KH.B'E = EH.HB' \Rightarrow KH = \dfrac{{EH.HB'}}{{B'E}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)
\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {H,\left( {B'AC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}HK = \sqrt 3 a\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.