Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất 5 số nguyên \(b \in \left(
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất 5 số nguyên \(b \in \left( { - 10\,;10} \right)\) thỏa mãn \({8^{{a^2} + b}} \le {4^{b - a}} + {3^{b + a}} + 15\)?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.
Sử dụng máy tính cầm tay xác định khoảng giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: \({8^{{a^2} + b}} \le {4^{b - a}} + {3^{b + a}} + 15\)
\( \Leftrightarrow {8^{{a^2}}} \le {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{4}{8}} \right)^b} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b} + \dfrac{{15}}{{{8^b}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^b} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b} + 15.{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^b} - {8^{{a^2}}} \ge 0\).
Xét hàm số \(f\left( b \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^b} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b} + 15.{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^b} - {8^{{a^2}}}\), có:
\(f'\left( b \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^b}\ln \dfrac{1}{2} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b}\ln \dfrac{3}{8} + 15.{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^b}.\ln \dfrac{1}{8} < 0\), \(\forall b \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 10;10} \right)\), ta có bảng biến thiên sau:
Vậy bất phương trình \(f\left( b \right) \ge 0\) có ít nhất 5 nghiệm nguyên khi
\(f\left( { - 5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}{.2^5} + {3^a}.{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)^5} + {15.8^5} - {8^{{a^2}}} \ge 0\).
Khảo sát hàm số \(g\left( a \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}{.2^5} + {3^a}.{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)^5} + {15.8^5} - {8^{{a^2}}}\) bằng máy tính cầm tay (TABLE), ta tìm được các giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn thuộc đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Tức có 5 giá trị \(a\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
