Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất 5 số nguyên \(b \in \left(
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất 5 số nguyên \(b \in \left( { - 10\,;10} \right)\) thỏa mãn \({8^{{a^2} + b}} \le {4^{b - a}} + {3^{b + a}} + 15\)?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.
Sử dụng máy tính cầm tay xác định khoảng giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: \({8^{{a^2} + b}} \le {4^{b - a}} + {3^{b + a}} + 15\)
\( \Leftrightarrow {8^{{a^2}}} \le {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{4}{8}} \right)^b} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b} + \dfrac{{15}}{{{8^b}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^b} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b} + 15.{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^b} - {8^{{a^2}}} \ge 0\).
Xét hàm số \(f\left( b \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^b} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b} + 15.{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^b} - {8^{{a^2}}}\), có:
\(f'\left( b \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^b}\ln \dfrac{1}{2} + {3^a}.{\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^b}\ln \dfrac{3}{8} + 15.{\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^b}.\ln \dfrac{1}{8} < 0\), \(\forall b \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 10;10} \right)\), ta có bảng biến thiên sau:
Vậy bất phương trình \(f\left( b \right) \ge 0\) có ít nhất 5 nghiệm nguyên khi
\(f\left( { - 5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}{.2^5} + {3^a}.{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)^5} + {15.8^5} - {8^{{a^2}}} \ge 0\).
Khảo sát hàm số \(g\left( a \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a}{.2^5} + {3^a}.{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)^5} + {15.8^5} - {8^{{a^2}}}\) bằng máy tính cầm tay (TABLE), ta tìm được các giá trị nguyên của \(a\) thỏa mãn thuộc đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). Tức có 5 giá trị \(a\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
