Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}

Câu hỏi số 575720:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y - 2}}{5} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 4}}\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \(\left( S \right)\) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với \(\Delta \)?

A. \(9\).

B. \(26\).

C. \(14\).

D. \(7\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575720

Phương pháp giải

Chia 3 trường hợp:

Trường hợp 1: mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Trường hợp 2: mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\).

Trường hợp 3: mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Biện luận, đánh giá số điểm \(M\) ở mỗi trường hợp.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có toạ độ tâm \(I\left( {1\,; - 2\,;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\). Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0\,;m\,;0} \right)\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và chứa hai đường tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) kẻ từ \(M\) \( \Rightarrow \Delta \bot \left( P \right)\). Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0\,;m\,;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;5\,; - 4} \right)\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(3x + 5y - 4z - 5m = 0\).

Xét: \(d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.1 + 5.\left( { - 2} \right) - 4.3 - 5m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {5m + 19} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\); \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 1\,;m + 2\,; - 3} \right)\).

Trường hợp 1: mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung với mặt cầu \(\left( S \right)\), nghĩa là \(d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) > R\).

Khi đó, không tồn tại tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) kẻ từ \(M\) và chứa trong \(\left( P \right)\). Loại trường hợp 1.

Trường hợp 2: mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\), nghĩa là \(d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) = R\).

Khi đó, tồn tại vô số của \(\left( S \right)\) tại \(M\) và chứa trong \(\left( P \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( S \right)\\d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) = R\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 25\\\dfrac{{\left| {5m + 19} \right|}}{{5\sqrt 2 }} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} = 15\\\left| {5m + 19} \right| = 25\sqrt 5 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2 \pm \sqrt {15} \\m = \dfrac{{ - 19 \pm 25\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \). Không có điểm \(M\) thoả mãn trường hợp 2.

Trường hợp 3: mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt với mặt cầu \(\left( S \right)\), nghĩa là \(d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) < R\).

Khi đó, muốn tồn tại hai đường tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) kẻ từ \(M\) và chứa trong \(\left( P \right)\), thì điểm \(M\) phải nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IM > R\\d\left( {I\,,\left( P \right)} \right) < R\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{M^2} > 25\\\dfrac{{\left| {5m + 19} \right|}}{{5\sqrt 2 }} < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} > 25\\\left| {5m + 19} \right| < 25\sqrt 2 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 15\\{\left( {5m + 19} \right)^2} < 1250\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 11 > 0\\25{m^2} + 190m - 889 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 2 - \sqrt {15} \\m > - 2 + \sqrt {15} \end{array} \right.\\\dfrac{{ - 19 - 25\sqrt 2 }}{5} < m < \dfrac{{ - 19 + 25\sqrt 2 }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 19 - 25\sqrt 2 }}{5} < m < - 2 - \sqrt {15} \\ - 2 + \sqrt {15} < m < \dfrac{{ - 19 + 25\sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\end{array}\).

Vì \(m \in {\bf{Z}}\), nên \(m \in \left\{ { - 10\,; - 9\,; - 8\,; - 7\,; - 6\,;2\,;3} \right\}\).

Vậy có 7 điểm \(M\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.