Cho số phức \(z = a + bi\) (\(a,\,\,b \in {\bf{R}}\)) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Hỏi
Cho số phức \(z = a + bi\) (\(a,\,\,b \in {\bf{R}}\)) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Hỏi nếu biểu thức \(P = \left| {z + i - 3} \right| + \left| {z - i + 1} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \(Q = {a^2} + {b^2}\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Đưa bài toán về bài toán cực trị hình học trên mặt phẳng Oxy.
Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z\) trên mặt phẳng phức.
Ta có: \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5 \Rightarrow \)Tập hợp các điểm \(M\left( {a;b} \right)\) là đường tròn có tâm \(H\left( {3;4} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \).
Gọi \(A\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn cho số phức \(3 - i\); \(B\left( { - 1;1} \right)\) biểu diễn cho số phức \( - 1 + i\).
Khi đó: \(P = \left| {z + i - 3} \right| + \left| {z - i + 1} \right| = \left| {z - \left( {3 - i} \right)} \right| + \left| {z - \left( { - 1 + i} \right)} \right| = MA + MB\).
Ta có: \({P^2} = {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)\) (Bất đẳng thức B.C.S) (1)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có :
\(M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\)\( = {\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 2.{\overrightarrow {IM} ^2} - 2\overrightarrow {IM} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)\)\( = I{A^2} + I{B^2} + 2.I{M^2}\).(2)
Ta có \(I\left( {1;0} \right)\), đường thẳng trung trực đoạn \(AB\) có phương trình \(2x - y - 2 = 0\,\,\,\left( \Delta \right)\);
Ta thấy \(H \in \left( \Delta \right)\) nên điểm \(M\) thỏa mãn cả 2 điều kiện trên là điểm \(M\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IM} = \dfrac{{IM}}{{IH}}.\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{{IH + R}}{{IH}}.\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{{\sqrt {20} + \sqrt 5 }}{{\sqrt {20} }}.\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{3}{2}.\overrightarrow {IH} \)
Suy ra điểm \(M\left( {4;6} \right)\) \( \Rightarrow z = 4 + 6i\) \( \Rightarrow Q = 16 + 36 = 52\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
