Cho số phức \(z = a + bi\) (\(a,\,\,b \in {\bf{R}}\)) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Hỏi

Câu hỏi số 575726:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z = a + bi\) (\(a,\,\,b \in {\bf{R}}\)) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Hỏi nếu biểu thức \(P = \left| {z + i - 3} \right| + \left| {z - i + 1} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \(Q = {a^2} + {b^2}\) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. \(45\).

B. \(12\).

C. \(52\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575726

Phương pháp giải

Đưa bài toán về bài toán cực trị hình học trên mặt phẳng Oxy.

Giải chi tiết

Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn cho số phức \(z\) trên mặt phẳng phức.

Ta có: \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5 \Rightarrow \)Tập hợp các điểm \(M\left( {a;b} \right)\) là đường tròn có tâm \(H\left( {3;4} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Gọi \(A\left( {3; - 1} \right)\) biểu diễn cho số phức \(3 - i\); \(B\left( { - 1;1} \right)\) biểu diễn cho số phức \( - 1 + i\).

Khi đó: \(P = \left| {z + i - 3} \right| + \left| {z - i + 1} \right| = \left| {z - \left( {3 - i} \right)} \right| + \left| {z - \left( { - 1 + i} \right)} \right| = MA + MB\).

Ta có: \({P^2} = {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)\) (Bất đẳng thức B.C.S) (1)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có :

\(M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\)\( = {\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 2.{\overrightarrow {IM} ^2} - 2\overrightarrow {IM} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)\)\( = I{A^2} + I{B^2} + 2.I{M^2}\).(2)

Ta có \(I\left( {1;0} \right)\), đường thẳng trung trực đoạn \(AB\) có phương trình \(2x - y - 2 = 0\,\,\,\left( \Delta \right)\);

Ta thấy \(H \in \left( \Delta \right)\) nên điểm \(M\) thỏa mãn cả 2 điều kiện trên là điểm \(M\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IM} = \dfrac{{IM}}{{IH}}.\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{{IH + R}}{{IH}}.\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{{\sqrt {20} + \sqrt 5 }}{{\sqrt {20} }}.\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \dfrac{3}{2}.\overrightarrow {IH} \)

Suy ra điểm \(M\left( {4;6} \right)\) \( \Rightarrow z = 4 + 6i\) \( \Rightarrow Q = 16 + 36 = 52\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.