Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \({\bf{R}}\) và thoả mãn \({\left[ {2f\left( x \right)

Câu hỏi số 575862:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \({\bf{R}}\) và thoả mãn \({\left[ {2f\left( x \right) - x} \right]^2} = 4{x^6} + 12{x^4} + 9{x^2},\forall x \in {\bf{R}}\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Giá trị của \(P = M - m\) bằng

A. \(P = 9\).

B. \(P = - 9\).

C. \(P = 12\).

D. \(P = 3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575862

Phương pháp giải

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số \(f\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta làm như sau:

- Tìm các điểm \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số \(f\) có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);\,\,f\left( a \right);\,f\left( b \right)\)

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\); số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của \(f\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left[ {2f\left( x \right) - x} \right]^2} = 4{x^6} + 12{x^4} + 9{x^2}\) \( \Leftrightarrow {\left[ {2f\left( x \right) - x} \right]^2} = {\left( {2{x^3} + 3x} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2f\left( x \right) - x = - 2{x^3} - 3x\\2f\left( x \right) - x = 2{x^3} + 3x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - {x^3} - x\\f\left( x \right) = {x^3} + 2x\end{array} \right.\).

TH1: \(f\left( x \right) = - {x^3} - x\), có: \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 1 < 0,\,\,\forall x \in {\bf{R}}\) nên hàm số nghịch biến trên \({\bf{R}} \Rightarrow \) Loại.

TH2: \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x\), có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2 > 0,\,\,\forall x \in {\bf{R}}\) nên \(f\left( x \right)\)đồng biến trên \({\bf{R}}\).

Lại có: \(f\left( 1 \right) = 3\); \(f\left( 2 \right) = 12\). Do đó \(M = 12;\,\,m = 3\).

Vậy \(P = M - m = 9\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.