Có bao nhiêu số nguyên \(y\) trong đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) sao cho bất phương trình
Có bao nhiêu số nguyên \(y\) trong đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) sao cho bất phương trình \({\left( {2x} \right)^{y + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{2}}} \ge {2^{\dfrac{3}{2}{{\log }_2}x}}\) đúng với mọi \(x\) thuộc \(\left( {2;4} \right)\)?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Biến đổi BPT \({\left( {2x} \right)^{y + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{2}}} \ge {2^{\dfrac{3}{2}{{\log }_2}x}}\), độc lập biến \(y\)ở 1 vế, biến \(x\) ở 1 vế.
Khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {2;4} \right)\) và đánh giá giá trị nguyên của \(y\).
Với \(x \in \left( {2;4} \right)\), ta có:
\({\left( {2x} \right)^{y + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{2}}} \ge {2^{\dfrac{3}{2}lo{g_2}x}} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\left( {2x} \right)}^{y + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{2}}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{2^{\dfrac{3}{2}lo{g_2}x}}} \right) \Leftrightarrow \left( {y + \dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right){\log _2}\left( {2x} \right) \ge \dfrac{3}{2}{\log _2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {y + \dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {1 + {{\log }_2}x} \right) \ge \dfrac{3}{2}{\log _2}x \Leftrightarrow \left( {2y + {{\log }_2}x} \right)\left( {1 + {{\log }_2}x} \right) \ge 3{\log _2}x\)\( \Leftrightarrow 2y + {\log _2}x \ge \dfrac{{3{{\log }_2}x}}{{1 + {{\log }_2}x}}\)
( do \(1 + {\log _2}x > 0\))
\( \Leftrightarrow 2y \ge \dfrac{{3{{\log }_2}x}}{{1 + {{\log }_2}x}} - {\log _2}x\).
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \dfrac{{3t}}{{1 + t}} - t,\,\,t \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} - 1 = \dfrac{{ - {t^2} - 2t + 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\forall t \in \left( {1;2} \right)\).
Ta có BBT sau:
Để bất phương trình đã cho đúng với mọi \(x \in \left( {2;4} \right)\) thì \(2y \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow y \ge \dfrac{1}{4}\).
Mà \(y\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right] \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;....;2022} \right\}\) : có \(2022\) giá trị.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
