Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là

Câu 575875: Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 + 3t\,}\\{z = 3 - 3t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = 1 + 3t\,}\\{z = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 9t}\\{y = 1 + 9t\,}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t\,}\\{z = 3\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

Câu hỏi : 575875

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai giao điểm là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) Khoảng cách giữa tâm đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tới đường thẳng \(\Delta \) lớn nhất.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2;5} \right)\), bán kính \(R = 6\) và \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{2}{3} = d\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( T \right)\) có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{3}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(H\left( {\dfrac{{23}}{9};\dfrac{{14}}{9};\dfrac{{47}}{9}} \right)\) và \(H\) là tâm của \(\left( T \right)\).

Có \(AH = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{3} < r\) nên điểm \(A\) nằm trong đường tròn \(\left( T \right)\).

Giả sử \(\Delta \) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(M,N\); gọi \(J\) là trung điểm \(MN\) thì \(HJ \bot MN\).

Ta có \(HA \ge HJ\) nên \(MN = 2MJ = 2\sqrt {M{H^2} - H{J^2}} \ge 2\sqrt {{r^2} - H{A^2}} = 2\sqrt {30} \).

Do đó \(MN\) nhỏ nhất khi \(J \equiv A\) hay \(\Delta \bot HA\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AH} = \left( {\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{{20}}{9}} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(AH\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AH} } \right] = \left( {5; - 5;0} \right) = 5\left( {1; - 1;0} \right)\).

Vậy \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\) và có một vtcp là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.